Komplexe Lösungen einer Gl. < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie alle komplexen Lösungen der folgenden Gleichungen und bestimmen Sie ihre Lage in der Gaußschen Zahleneben.
[mm] (z-\bruch{1}{2}i)^3=i [/mm] |
Hallo,
ich weiss nicht so ganz wie ich hier anfangen soll. Gleichungen, wo das z "alleine" steht, wie z.B. [mm] z^5=-32 [/mm] weiß ich wie es geht.
Mein Ansatz bis her:
mit z=x+yi
[mm] (x+(y-\bruch{1}{2})i)^3=e^{i\bruch{\pi}{2}}
[/mm]
nur weiter?
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Hallo dm,
> Berechnen Sie alle komplexen Lösungen der folgenden
> Gleichungen und bestimmen Sie ihre Lage in der Gaußschen
> Zahleneben.
>
> [mm](z-\bruch{1}{2}i)^3=i[/mm]
> Hallo,
>
> ich weiss nicht so ganz wie ich hier anfangen soll.
> Gleichungen, wo das z "alleine" steht, wie z.B. [mm]z^5=-32[/mm]
> weiß ich wie es geht.
>
> Mein Ansatz bis her:
>
> mit z=x+yi
>
> [mm](x+(y-\bruch{1}{2})i)^3=e^{i\bruch{\pi}{2}}[/mm]
>
> nur weiter?
Ich würde [mm] $w:=z-\frac{1}{2}i$ [/mm] setzen und die Gleichung [mm] $w^3=i$ [/mm] lösen.
Dazu benutze die Formel für die n-te Wurzel (oder Moivre)
Ist [mm] $z=r\cdot{}(\cos(\varphi)+i\sin(\varphi))$, [/mm] so hat die Gleichung [mm] $w^n=z$ [/mm] die n Lösungen
[mm] $w_k=\sqrt[n]{r}\cdot{}\left(\cos\left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)+i\cdot{}\sin\left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)\right)$, [/mm] $k=0,1,...,n-1$
Rechne mal die [mm] $w_k$ [/mm] aus und am Ende das Resubstituieren nicht vergessen 
Zur Lage der Lösungen:
Überlege, wieviele Lösungen es gibt, welches regelmäßige Gebilde sie bilden und wo sie in der Ebene liegen ...
LG
schachuzipus
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danke für deine schnelle Antwort!
Beim Rücksubstituieren ist es dann am besten, das Ergebnis zuerst in kartesisch zu wandeln und dann die bruch{1}{2}i dazuzuzählen, oder?
dann hab ich:
[mm] z_{0}=\bruch{\wurzel{3}}{2}+i
[/mm]
[mm] z_{1}=-\bruch{\wurzel{3}}{2}+i
[/mm]
[mm] z_{2}=-\bruch{1}{2}i
[/mm]
Nach dem Rücksubstituieren haben die Zeiger dann auch nicht mehr alle gleiche Länge, oder?
der Kreismittelpunkt liegt jetzt auf [mm] \bruch{1}{2}i [/mm] mit Radius r=1
des r=1 erhält man wenn man vor dem Rücksubstituieren den Betrag der komplexen Zahlen nimmt, richtig?
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Hallo nochmal,
> danke für deine schnelle Antwort!
>
> Beim Rücksubstituieren ist es dann am besten, das Ergebnis
> zuerst in kartesisch zu wandeln und dann die bruch{1}{2}i
> dazuzuzählen, oder?
>
> dann hab ich:
> [mm]z_{0}=\bruch{\wurzel{3}}{2}+i[/mm]
> [mm]z_{1}=-\bruch{\wurzel{3}}{2}+i[/mm]
> [mm]z_{2}=-\bruch{1}{2}i[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Die Zeiger müssen dann auch nicht mehr alle gleiche Länge
> haben?
doch, doch
> Das ist nur für den Fall [mm]z^n=w[/mm]
> [mm]z\in\IC[/mm]
> [mm]n\in\IN[/mm]
> [mm]w\in\IC\backslash{0}[/mm]
>
> oder verschiebt sich nur der Kreismittelpunkt? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
genau, die Lösungen für w liegen auf dem Einheitskreis und bilden ein regelmäßiges (gleichseitiges) Dreieck.
Damit liegen die Lösungen für z wo genau? Auf einem Kreis mit Radius ... und Mittelpunkt ...
LG
schachuzipus
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Nach dem Rücksubstituieren haben die Zeiger dann auch nicht mehr alle gleiche Länge, oder?
der Kreismittelpunkt liegt jetzt auf $ [mm] \bruch{1}{2}i [/mm] $ mit Radius r=1
des r=1 erhält man wenn man vor dem Rücksubstituieren den Betrag der komplexen Zahlen nimmt, richtig?
wenn ich die Lösungen für z einzeichne muss ich aber die Zeiger vom Ursprung zeichnen, oder?
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Hallo dm,
> Nach dem Rücksubstituieren haben die Zeiger dann auch nicht
> mehr alle gleiche Länge, oder?
Aah, du beziehst dich auf den Ursprung als Ausgangspunkt und meinst damit die komplexen Zahlen als Vektoren; dann hast du natürlich recht!
>
> der Kreismittelpunkt liegt jetzt auf [mm]\bruch{1}{2}i[/mm] mit
> Radius r=1
genau!
>
> des r=1 erhält man wenn man vor dem Rücksubstituieren den
> Betrag der komplexen Zahlen nimmt, richtig?
>
> wenn ich die Lösungen für z einzeichne muss ich aber die
> Zeiger vom Ursprung zeichnen, oder?
Ja, so wie du jede komplexe Zahl als Zeiger einzeichnest
LG
schachuzipus
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