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Hallo zusammen,
habe da eine Aufgabe:
für R>0 berechne [mm] \integral_{\gamma} [/mm] {Log(z) dz} für [mm] \gamma :[-\bruch{\pi}{2}, \bruch {\pi}{2}] \to \IC [/mm] mit [mm] \gamma [/mm] (t) = [mm] Re^{it}
[/mm]
Habe das jetzt folgendermaßen gemacht:
[mm] \integral_{-\bruch{\pi}{2}}^{\bruch{\pi}{2}} {f(\gamma(t)) \gamma'(t) dt}
[/mm]
Dann hab ich die gegebene Funktion , also Log, für f eingesetzt, also
[mm] \integral_{-\bruch{\pi}{2}}^{\bruch{\pi}{2}} {Log(Re^{it})Rie^{it} dt}
[/mm]
dann hab ich fleissig rumgerechnet und bekomme dann zum Schluss
als Ergebnis Ri(Log(Ri) +Log(R(-i))) - [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] raus
Aber der Log ist doch für negative Zahlen nicht definiert!
Oder wie sieht das hier aus?Kommt mir etwas komisch vor...
Und da wär noch was:
[mm] \integral_{|z|=R} {\bruch{sinz}{z} dz}
[/mm]
wie muss ich denn da mit dem |z|=R umgehen? Und mach ich das mit der Stammfunktion mit partieller Integration? Hab ich probiert, aber nicht hingekriegt! Wie wähle ich, wenn mit part. Integration, mein f und mein g' ?
Wär echt ganz supertoll, wenn mir jemand weiterhelfen könnte!!
Gruß,
Sina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:17 Sa 21.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo Sinchen
ich kann deine Frage (noch) nicht ganz beantworten, aber eines hat mich schon stutzig gemacht, und das verlangt nach Aufklärung:
> Aber der Log ist doch für negative Zahlen nicht
> definiert!
Das kannst du aber nicht im Ernst sagen, oder? Wenn du dich schon mit Funktionentheorie beschäftigst. 
Der Logarithmus als Funktion von [mm] $\IR \to \IR$ [/mm] ist für negative Zahlen tatsächlich nicht definiert.
Der Logarithmus ist ja nur die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion [mm] $e^z$, [/mm] wobei du diese Funktion als Potenzreihe denken musst. Nicht als e hoch eine reelle oder komplexe Zahl.
So, und was ist denn zum Beispiel [mm] $e^{\pi*i}$
[/mm]
Ich denke, das gibt $-1_$.
[mm] $e^{\pi*i}=-1$
[/mm]
Und jetzt setzen wir den Logarithmus an:
[mm] $\log(e^{\pi*i})=\log(-1)$
[/mm]
[mm] $\pi*i=\log(-1)$
[/mm]
Etwas allgemeiner: der Logarithmus hat unendlich viele Werte:
[mm] $\log(-1)=(2k+1)\pi*i$
[/mm]
Weil gilt: [mm] $e^{(2k+1)\pi*i}=-1$
[/mm]
Alles klar?
Mit lieben Grüssen
Paul
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:00 Di 24.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Sinchen!
> für R>0 berechne [mm]\integral_{\gamma}[/mm] {Log(z) dz} für [mm]\gamma :[-\bruch{\pi}{2}, \bruch {\pi}{2}] \to \IC[/mm]
> mit [mm]\gamma[/mm] (t) = [mm]Re^{it}[/mm]
>
> Habe das jetzt folgendermaßen gemacht:
>
> [mm]\integral_{-\bruch{\pi}{2}}^{\bruch{\pi}{2}} {f(\gamma(t)) \gamma'(t) dt}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Dann hab ich die gegebene Funktion , also Log, für f
> eingesetzt, also
> [mm]\integral_{-\bruch{\pi}{2}}^{\bruch{\pi}{2}} {Log(Re^{it})Rie^{it} dt}[/mm]
> dann hab ich fleissig rumgerechnet
Leider aber nicht ganz richtig...
> und bekomme dann zum
> Schluss
> als Ergebnis Ri(Log(Ri) +Log(R(-i))) - [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm]
> raus
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Es gilt für den Hauptzweig des Logarithmus:
[mm] $\mboc{Log}(Re^{it}) [/mm] = [mm] \log(R) [/mm] + it$ für $- [mm] \pi [/mm] <t< [mm] \pi$.
[/mm]
Daher haben wir hier
[mm] $\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (\log(R) [/mm] +it) [mm] \cdot Rie^{it}\, [/mm] dt [mm] =i\log(R)R \int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}e^{it}\, dt-R\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}te^{it}\, [/mm] dt$
zu berechnen. Versuche das bitte mal.
> Aber der Log ist doch für negative Zahlen nicht
> definiert!
Das stimmt (nach Ansicht der meisten Autoren ), wenn Log den Hauptzweig bezeichnet. Allerdings könnte man dann einen Nebenzweig betrachten. Hier allerdings ist es völlig irrelevant, da man gar nicht über die negative reelle Achse integriert.
> Oder wie sieht das hier aus?Kommt mir etwas komisch
> vor...
>
> Und da wär noch was:
> [mm]\integral_{|z|=R} {\bruch{sinz}{z} dz}[/mm]
>
> wie muss ich denn da mit dem |z|=R umgehen? Und mach ich
> das mit der Stammfunktion mit partieller Integration? Hab
> ich probiert, aber nicht hingekriegt! Wie wähle ich, wenn
> mit part. Integration, mein f und mein g' ?
Ganz einfach wieder parametrisieren:
[mm] $\int\limits_{|z|=R} \bruch{\sin z}{z}\, [/mm] dz = [mm] \int\limits_0^{2\pi} \frac{\sin(Re^{it})}{Re^{it}} \cdot i\red{R}e^{it}\, [/mm] dt = [mm] i\red{R} \int\limits_0^{2\pi} \sin(Re^{it})\, [/mm] dt = [mm] \ldots$
[/mm]
(Danke, Paul, für die Korrektur!  )
Viele Grüße
Julius
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