Komplexe Konvergenz < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen sie die Konvergenz der Reihen [mm] \summe_{k=1}^{\infty} Re(\bruch{i^k}{k} [/mm] und [mm] \summe_{k=1}^{\infty} Im(\bruch{i^k}{k}. [/mm] Hinweis: Leibnitz Kriterium |
Moin, mal wieder bereiten koplexe Reihen mir Probleme:
ich habe mir mal die ersten folgeglieder der kompletten komplexen reihe notiert
[mm] a_{k}= [/mm] (Re|Im), [mm] a_{1}= [/mm] (0|1), [mm] a_{2}= (\bruch{-1/2}|0), a_{3}= (0|\bruch{-1/3}), a_{1}= (\bruch{1/4}|0), [/mm]
dadruch zeigt sich das ich 2 alternierdende Reihen habe.
Das Leibnitz kriterium besagt:
Wenn [mm] \summe_{i=1}^{\infty}(-1)^k*a_k, [/mm] dann konvergiert die Reihen wenn [mm] a_k [/mm] monotone nullfoge, d.h. für mich: wenn [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} a_k [/mm] = 0 ist.
Nur wie wende ich das jetzt auf meine komplexe Folge an?
Etwa [mm] \summe_{i=1}^{\infty}Re((i)^k*\bruch{1}{k}) [/mm] konvergiert da [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{1}{k}=0 [/mm] ist
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:40 So 26.11.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo Alex
Bei der Folge [mm] $a_k=\Re(\frac{i^k}{k})$ [/mm] ist doch jedes zweites Glied gleich 0. Lässt du die Nullen weg, so bleibt eine alternierende Folge, auf die man das Leibnizkriterium anwenden kann.
Bei [mm] $a_k=\Im(\frac{i^k}{k})$ [/mm] ist es genau gleich.
mfG Moudi
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Ich möchte das jetzt so aufschreiben für die Korrektur:
am Anfang halt ein paar anfangswerte bis k=4
dann
Für gerade k gilt: k=2*p [mm] p\in\IN
[/mm]
[mm] \summe_{p=1}^{\infty}(-1)^{2*p}*\bruch{-1}{2*p}
[/mm]
[mm] \limes_{p\rightarrow\infty}\bruch{-1}{2*p}=0 [/mm] (i)
Für ungerade k gilt: k=2*p-1 [mm] p\in\IN
[/mm]
[mm] \summe_{p=1}^{\infty}(-1)^{2*p-1}*\bruch{-1}{2*p-1}
[/mm]
[mm] \limes_{p\rightarrow\infty}\bruch{-1}{2*p-1}=0 [/mm] (ii)
i und ii zeigen Konvergenz der alterniereden Reihen nach Leibniz
Frage 1: Ist das so korrekt?
Frage 2: Wie sieht das aus mit der ganzen komplexen reihe [mm] a_k=\(\frac{i^k}{k} [/mm] ?
Konvergiert sie, vielleicht sogar absolut?
Ich würde sagen ja, denn sie dreht sich mit immer kürzer werdenden Zeigern um O
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:15 Mo 27.11.2006 | | Autor: | moudi |
> Ich möchte das jetzt so aufschreiben für die Korrektur:
>
> am Anfang halt ein paar anfangswerte bis k=4
>
> dann
>
> Für gerade k gilt: k=2*p [mm]p\in\IN[/mm]
>
> [mm]\summe_{p=1}^{\infty}(-1)^{2*p}*\bruch{-1}{2*p}[/mm]
> [mm]\limes_{p\rightarrow\infty}\bruch{-1}{2*p}=0[/mm] (i)
>
> Für ungerade k gilt: k=2*p-1 [mm]p\in\IN[/mm]
>
> [mm]\summe_{p=1}^{\infty}(-1)^{2*p-1}*\bruch{-1}{2*p-1}[/mm]
> [mm]\limes_{p\rightarrow\infty}\bruch{-1}{2*p-1}=0[/mm] (ii)
>
> i und ii zeigen Konvergenz der alterniereden Reihen nach
> Leibniz
>
>
> Frage 1: Ist das so korrekt?
Ja es sieht korrekt aus (habe aber die Details nicht kontrolliert).
> Frage 2: Wie sieht das aus mit der ganzen komplexen reihe
> [mm]a_k=\(\frac{i^k}{k}[/mm] ?
> Konvergiert sie, vielleicht sogar absolut?
Nein, denn [mm] $\sum_k |a_k|=\sum_k \left|\frac{i^k}{k}\right|=\sum_k \frac{1}{k}$ [/mm] divergiert.
Eine komplexe Reihe (Folge) konvergiert genau dann, wenn Realteil und Imaginärteil konvergieren.
mfG Moudi
> Ich würde sagen ja, denn sie dreht sich mit immer kürzer
> werdenden Zeigern um O
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