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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:32 Do 15.04.2010 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | Sei [mm] z\in\mathbb{C}. [/mm] Man bestimme die Lösungen folgender Gleichungen:
(1) [mm] z^3=1,
[/mm]
(2) [mm] z^4=-1. [/mm] |
Hallo,
Zu (1). Eine Lösung ist natürlich z=1. Aber wie bekomme ich die anderen?
Wenn ich den Ansatz wähle: z=x+iy und das dann ^3 nehme, führt das zu einem ziemlichen durcheinander und man bekommt keine Lösung. Kann man das nicht auch einfacher mit Polarkoordinaten machen, also [mm] z=re^{i\phi} [/mm] und [mm] r=x^2+y^2? [/mm] Aber irgendwie sieht das dann auch alles wieder recht durcheinander aus und außerdem kenne ich den Winkel ja nicht.
Wie muss man also genauer vorgehen?
(2) Ist dasselbe Problem.
Gruß Unk
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Ja, man kann das über Polarkoordinaten lösen. In solch einfachen Fällen wie hier geht es aber auch ohne. Du hast ja bei der ersten Gleichung schon 1 als Nullstelle des Polynoms [mm]z^3 - 1[/mm] erkannt. Nach einem bekannten Satz der Algebra kann aber dann der Linearfaktor [mm]z-1[/mm] abgespalten werden, d.h. es gibt ein quadratisches Polynom q(z) mit reellen Koeffizienten mit
[mm]z^3 - 1 = (z-1) \cdot q(z)[/mm]
Das quadratische Polynom erhältst du durch eine kleine Polynomdivision. Dann mußt du nur noch die Nullstellen von [mm]q(z)[/mm] bestimmen. Dafür gibt es aber eine aus der Schule bekannte Formel.
Natürlich ist hier auch die Geometrie von Interesse, denn die drei Nullstellen von [mm]z^3 - 1[/mm] (die dritten Einheitswurzeln) haben eine besondere Lage im Koordinatensystem. Um das besser zu verstehen, sind dann natürlich Polarkoordinaten günstiger.
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