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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:07 So 06.09.2009 | | Autor: | jjkl |
| Aufgabe | Lösen Sie die folgenden Gleichungen und geben Sie die Lösungen als Menge an.
a) [mm] (z^5)-1+i=0
[/mm]
b) [mm] (z^5)+32=0
[/mm]
c) [mm] (z^3)-\wurzel{3}+i=0
[/mm]
d) z²+4z-6iz-6-13i=0 |
Hi! habe eine solche gleichung noch nicht lösen müssen. und jetzt fehlt mir der richtige ansatz. habe es jetzt einmal wie folgt versucht:
a) nach z=... aufgelöst und als ergebnis fünfte wurzel aus (1-i) herausbekommen
b)wie in teil a), als ergebnis habe ich hier 2i herausbekommen
bei den anderen beiden funktioniert das nicht so wie ichs versucht habe, deshalb denke ich dass ich auf der falschen fährte bin. wenn mir jemand beim ansatz helfen könnte wäre ich sehr dankbar; außerdem ist es mir ein rätsel wie ich das ergebnis in einer menge angeben soll.
vielen dank im vorraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:16 So 06.09.2009 | | Autor: | Infinit |
Hallo jjkl,
der Weg ist nicht verkehrt, aber augenscheinlich berücksichtigst Du nicht, dass eine Gleichung n-ten Grades n Lösungen besitzt. Der Betrag dieser Lösungen, die komplex sind, ist jeweils gleich, die Phase der komplexen Zahl ändert sich. Schaue doch mal in Deinem Matheskript nach, da musst du etwas finden zum Lösen komplexer Gleichungen.
Die letzte Gleichung ist eine quadratische Gleichung mit komplexen Koeffzienten, hier hilft die berühmte p-q-Formel weiter.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:43 So 06.09.2009 | | Autor: | jjkl |
Ja genau diese Definition steht in dem Skript, allerdings auch nicht mehr. Kein Beispiel, garnichts. Jetzt würd ich gern mal sehen wie soeine Lösung denn auszusehen hat. Wenn man das für den Teil a) ausführen könnte wäre ich sehr dankbar. lg
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Hallo jjkl,
> Ja genau diese Definition steht in dem Skript, allerdings
> auch nicht mehr. Kein Beispiel, garnichts. Jetzt würd ich
> gern mal sehen wie soeine Lösung denn auszusehen hat. Wenn
> man das für den Teil a) ausführen könnte wäre ich sehr
> dankbar. lg
Du musst dir die Moivre-Formel zunutze machen:
Schreibe [mm] $z\in\IC$ [/mm] in trigonometr. Form auf:
[mm] $z=r\cdot{}(\cos(\varphi)+i\cdot{}\sin(\varphi))$, [/mm] wobei $r=|z|$ und [mm] $\varphi=arg(z)$
[/mm]
Dann sagt die Formel: [mm] $z^n=r^n\cdot{}(\cos(n\cdot{}\varphi)+i\cdot{}\sin(n\cdot{}\varphi))$
[/mm]
Damit ergibt sich für die n-ten Wurzeln aus einer komplexen Zahl [mm] $w=r\cdot{}(\cos(\varphi)+i\cdot{}\sin(\varphi)$:
[/mm]
[mm] $z^n=w$ [/mm] hat die Lösungen:
[mm] $z_k=\sqrt[n]{r}\cdot{}\left(\cos\left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)+i\cdot{}\sin\left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)\right) [/mm] \ ,k=0,...,n-1$
Stelle also in a) die Gleichung um zu [mm] $z^5=1-i$, [/mm] berechne den Betrag von $1-i$ und das Argument (das kannst du ablesen, zeichne mal $1-i$ ein).
Dann wende die Formel an, um die 5 Wurzeln [mm] $z_0,...,z_4$ [/mm] zu berechnen
LG
schachuzipus
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