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| Aufgabe | Bestimmen Sie alle komplexen Zahlen z mit:
a) [mm] e^{z} [/mm] - e = 0
b) [mm] (z+i)(z^{2}+i) [/mm] = 0 |
Hallo,
ich versuche mich gerade an dieser Aufgabe. Ich komme nicht drauf, wie ich diese lösen kann ?!?
Aufgabe a) da bin ich KOMPLETT überfraget. wie soll ich da anfangen...habt ihr tipps für mich ?
Aufgabe b) da hätte ich als erstes an ausklammen gedacht. dann erhalte ich [mm] z^{3} [/mm] + [mm] i*z^{2} [/mm] + 2i + [mm] i^{2}
[/mm]
nun eine polynomdivision ? dann müsste ich zuerst "raten" welche die erste nullstelle ist, damit ich überhaupt loslegen kann.
da habe ich aber nun werte von -3 bis +3 eingegeben und ich komme nicht auf 0 ?!?
könntet ihr mir weiterhelfen ?
gruß rudi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:03 So 01.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie alle komplexen Zahlen z mit:
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> a) [mm]e^{z}[/mm] - e = 0
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> b) [mm](z+i)(z^{2}+i)[/mm] = 0
> Hallo,
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> ich versuche mich gerade an dieser Aufgabe. Ich komme nicht
> drauf, wie ich diese lösen kann ?!?
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> Aufgabe a) da bin ich KOMPLETT überfraget. wie soll ich da
> anfangen...habt ihr tipps für mich ?
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> Aufgabe b) da hätte ich als erstes an ausklammen gedacht.
> dann erhalte ich [mm]z^{3}[/mm] + [mm]i*z^{2}[/mm] + 2i + [mm]i^{2}[/mm]
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> nun eine polynomdivision ? dann müsste ich zuerst "raten"
> welche die erste nullstelle ist, damit ich überhaupt
> loslegen kann.
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> da habe ich aber nun werte von -3 bis +3 eingegeben und ich
> komme nicht auf 0 ?!?
>
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> könntet ihr mir weiterhelfen ?
>
Zu a): [mm]e^{z}[/mm] - e = 0 [mm] \gdw e^{z-1}=1. [/mm] Für welche Zahlen w gilt [mm] e^w=1 [/mm] ?
Zu b): $ [mm] (z+i)(z^{2}+i) [/mm] $ = 0 [mm] \gdw [/mm] z+i=0 oder [mm] z^2+i=0.
[/mm]
FRED
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> gruß rudi
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zu b )
Stimmt, ist ja eine Multiplikation zweier Terme und ist ein Faktor 0, ist das Ergebnis = 0
heißt das, ich kann es mir aussuchen welchen ich als 0 nehme ? der quadratische Term = 0 wären ja schon 2 Nullstellen.
daher nehme ich mal z+i = 0
heißt das, ich kann z+i nun für meine polynomdivision nehmen ?
oder habe ich mit z+i meine nullstelle und nehme nun [mm] z^2 [/mm] + 1 = 0 und löse das mit der pq formel für die anderen beiden ?
gruß rudi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:40 So 01.02.2015 | | Autor: | Infinit |
Hallo Rudi,
bei der Aufgabe b) brauchst Du keine Polynomdivision mehr, denn Du hast die Gleichung ja bereits in Form von Faktoren gegeben.
Es wird ingesamt drei Lösungen geben.
Die eine Lösung bekommst Du für
[mm] z + i = 0 [/mm],
die beiden anderen (denn es ist eine quadratische Gleichung in z) für
[mm]z^2 + 1 = 0 [/mm]
Viele Grüße,
Infinit
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Die eine Lösung bekommst Du für
$ z + i = 0 $,
die beiden anderen (denn es ist eine quadratische Gleichung in z) für
$ [mm] z^2 [/mm] + 1 = 0 $
d.h.
z1= -i
und +- 1 für z2,3 ?
gruß rudi
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Hiho,
ja, allerdings ist rein technisch die Bezeichnung [mm] z_1,z_2,z_3 [/mm] falsch, da es rein formell ganz andere Variablen sind.
Das macht man vielleicht in der Schule so, in der Uni aber nicht mehr, da schreibt man Dinge so:
$z = [mm] \ldots \vee z=\ldots$
[/mm]
Gruß,
Gono
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$ [mm] e^{z} [/mm] $ - e = 0 $ [mm] \gdw e^{z-1}=1. [/mm] $ Für welche Zahlen w gilt $ [mm] e^w=1 [/mm] $ ?
für [mm] e^{0} [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:33 Mo 09.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> [mm]e^{z}[/mm] - e = 0 [mm]\gdw e^{z-1}=1.[/mm] Für welche Zahlen w gilt
> [mm]e^w=1[/mm] ?
>
> für [mm]e^{0}[/mm] ?
Nein. Für alle w [mm] \in \IC [/mm] der Form
$2 k [mm] \pi [/mm] i $ mit $ k [mm] \in \IZ$
[/mm]
FRED
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und was heißt das nun auf meine aufgabe bezogen ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:45 Mo 09.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> und was heißt das nun auf meine aufgabe bezogen ?
Das bedeutet:
$ [mm] e^{z} [/mm] - e = 0 [mm] \gdw [/mm] z [mm] \in \{1+2 k \pi i : k \in \IZ\}$
[/mm]
FRED
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