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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:58 Do 14.05.2009 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Lösungen der folgenden komplexen Gleichung:
sin(z)=sin(|z|) |
Also...
Ich habe so angefangen:
[mm] sin(x+jy)=sin(\sqrt{x^2+y^2})
[/mm]
[mm] sin(x)*cosh(y)+j*cos(x)*sinh(y)=sin(\sqrt{x^2+y^2})
[/mm]
Dann kann man den Koeffizientenvergleich machen:
Realteil:
[mm] sin(x)*cosh(y)=sin(\sqrt{x^2+y^2})
[/mm]
Imaginärteil:
cos(x)*sinh(y)=0
cos(x)=0 [mm] \vee [/mm] sinh(y)=0
[mm] x=\bruch{\pi}{2}+k*\pi \vee [/mm] y=0
das in die Gleichung für den Realteil einsetzen:
[mm] x=\bruch{\pi}{2}+k*\pi:
[/mm]
[mm] sin(\bruch{\pi}{2}+k*\pi)*cosh(y)=sin(\sqrt{(\bruch{\pi}{2}+k*\pi)^2+y^2})
[/mm]
[mm] cosh(y)=sin(\sqrt{(\bruch{\pi}{2}+k*\pi)^2+y^2})
[/mm]
[mm] y=arcosh(sin(\sqrt{(\bruch{\pi}{2}+k*\pi)^2+y^2}))
[/mm]
doofe Frage aber muss ich den Term jetzt wirklich ausrechnen oder gibt es da noch einen anderen weg?
Danke und Gruß,
tedd
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:24 Do 14.05.2009 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie alle Lösungen der folgenden komplexen
> Gleichung:
> sin(z)=sin(|z|)
> Also...
>
> Ich habe so angefangen:
>
> [mm]sin(x+jy)=sin(\sqrt{x^2+y^2})[/mm]
Hallo,
hieraus ergibt sich doch sofort die Möglichkeit [mm] x+iy=\sqrt{x^2+y^2}.
[/mm]
Wie ich mich zu erinnern glaube, hat auch die komplexe Sinusfunktion die Periode [mm] 2\pi,
[/mm]
also kann man ergänzen zu
[mm] x+jy+2\pi=\sqrt{x^2+y^2}.
[/mm]
Der Koeffizientenvergleich führt sofort auf y=0.
Gruß Abakus
> [mm]sin(x)*cosh(y)+j*cos(x)*sinh(y)=sin(\sqrt{x^2+y^2})[/mm]
>
> Dann kann man den Koeffizientenvergleich machen:
>
> Realteil:
> [mm]sin(x)*cosh(y)=sin(\sqrt{x^2+y^2})[/mm]
>
> Imaginärteil:
> cos(x)*sinh(y)=0
> cos(x)=0 [mm]\vee[/mm] sinh(y)=0
> [mm]x=\bruch{\pi}{2}+k*\pi \vee[/mm] y=0
>
> das in die Gleichung für den Realteil einsetzen:
> [mm]x=\bruch{\pi}{2}+k*\pi:[/mm]
>
> [mm]sin(\bruch{\pi}{2}+k*\pi)*cosh(y)=sin(\sqrt{(\bruch{\pi}{2}+k*\pi)^2+y^2})[/mm]
> [mm]cosh(y)=sin(\sqrt{(\bruch{\pi}{2}+k*\pi)^2+y^2})[/mm]
>
> [mm]y=arcosh(sin(\sqrt{(\bruch{\pi}{2}+k*\pi)^2+y^2}))[/mm]
>
> doofe Frage aber muss ich den Term jetzt wirklich
> ausrechnen oder gibt es da noch einen anderen weg?
Keine Ahnung,
ich möchte nur noch eine Idee einstreuen:
Wie wäre es denn, wenn man mit den Reihenentwicklungen von sin(z) und sin(|z|) arbeitet?
Gruß Abakus
>
> Danke und Gruß,
> tedd
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:39 Do 14.05.2009 | | Autor: | fencheltee |
Hallo,
hab die Frage quasi auch schon gestellt:
https://matheraum.de/read?t=548015
evtl. hilfts dir weiter
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