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| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Lösungen der komplexen Gleichung
[mm] \wurzel[3]{(z-1+i)}=8 [/mm] |
Hallo, ich schreibe am Montag eine Matheklausur, und wäre für eine Antwort auf diese Frage sehr dankbar!
Eine Lösung der Gleichung ist mit Sicherheit z=513+i.
Jetzt ist die Frage: Existiert nur diese eine Lösung, oder gibt es zwei weitere?
Falls ja, wie sind diese zu bestimmen?
Vielen Dank im Voraus!
Gruß Tobi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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513-i dürfte es eher treffen 
Ansonsten, wenn ich da nicht auf dem Schlauch stehe, würde ich sagen:
z-1+i ist eine komplexe Zahl, damit gibt es 3 verschiedene Lösungen der Gleichung: [mm] $w^3=z-1+i$. [/mm] Also kann auch nur eine davon gleich 8 sein.
Klingt für mich zumindest logisch, obwohl ich noch nicht mit solchen Gleichungen zu tun hatte. Ansonsten soll mich bitte jemand korrigieren 
Nochmal gerade drüber nachgedacht: Es kann ja sowieso maximal eine reelle dritte Wurzel aus einer komplexen Zahl geben. Beim Radizieren "wandert" der Winkel der Lösungen in der Exponentialdarstellung ja weiter, kann aber nicht nochmal auf der reellen Achse "ankommen".
Viele Grüße
Johannes
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:18 Sa 13.09.2008 | | Autor: | tobi_hoch2 |
Vielen Dank für die extrem schnelle Antwort!
Sorry, ich meinte natürlich 513-i
Gruß Tobi
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> Bestimmen Sie alle Lösungen der komplexen Gleichung
> [mm]\wurzel[3]{(z-1+i)}=8[/mm]
Hallo Tobi und Johannes,
im Komplexen ist es eigentlich fast noch verwirrender als
im Reellen, Wurzelausdrücke unbedacht zu verwenden.
Zu Wurzeln im Reellen siehe auch:
Wurzeln aus negativen Zahlen
Nach meiner Ansicht ist es Unfug, die Gleichung in der
angegebenen Form
[mm]\wurzel[3]{(z-1+i)}=8[/mm]
zu schreiben, schlicht und einfach deshalb, weil es
in [mm] \IC [/mm] nicht möglich ist, Wurzeln auf eine eindeutige
Art zu definieren, welche wirklich mit den üblichen
Rechengesetzen kompatibel ist.
Und Gleichungen, welche undefinierte, mangelhaft oder
nicht eindeutig definierte Terme enthalten, sind nun
einmal schlicht unbrauchbar. Man kann die Gleichung,
die hier gemeint war, problemlos klar notieren, nämlich:
[mm]z-1+i\ =\ 8^3[/mm]
Dann ist auch sofort ersichtlich, dass die Gleichung nur eine
einzige Lösung hat. Allerdings ist dann auch das Brimborium
einer auf den ersten Blick "schwierigen" Aufgabe weg.
LG
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Ah, so etwas hatte ich mir schon gedacht. Da auch wikipedia bzgl. Verwendung des Wurzelzeichens in [mm] $\mathds{C}$ [/mm] nichts Tolles sagte, hab ich versucht, die Gleichung so anzugehen, dass halt links jede dritte Wurzel stehen kann.
Danke für die Klarstellung
Viele Grüße
Johannes
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> Ah, so etwas hatte ich mir schon gedacht. Da auch wikipedia
> bzgl. Verwendung des Wurzelzeichens in [mm]\mathds{C}[/mm] nichts
> Tolles sagte, hab ich versucht, die Gleichung so anzugehen,
> dass halt links jede dritte Wurzel stehen kann.
> Danke für die Klarstellung
>
> Viele Grüße
> Johannes
Was in Wikipedia zu Wurzeln im Komplexen sagt, ist schon
in Ordnung. Dort spricht man - im Gegensatz zu Wurzeln
im Reellen, von den n-ten Wurzeln einer Zahl.
Wiki sagt dann:
"Anders als bei reellen Zahlen kann man nicht so einfach eine
der Wurzeln als die Wurzel auszeichnen; dort wählt man die
einzige nichtnegative Wurzel."
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Ja, das ist mir schon klar. Wie man die n-ten Wurzeln ausrechnet ist mir bekannt, aber soweit ich mich erinnere sagt Wikipedia nichts über eventuelle Konvention was das Wurzelzeichen im Komplexen angeht (ähnlich der Diskussion zu "Wurzelfunktion" hier im Forum.
VG
Johannes
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> Ja, das ist mir schon klar. Wie man die n-ten Wurzeln
> ausrechnet ist mir bekannt, aber soweit ich mich erinnere
> sagt Wikipedia nichts über eventuelle Konvention was das
> Wurzelzeichen im Komplexen angeht (ähnlich der Diskussion
> zu "Wurzelfunktion" hier im Forum.
Am besten verzichtet man eben einfach auf die
Verwendung des Wurzelzeichens im Komplexen und
spricht stattdessen von Gleichungen und ihren Lösungen !
[mm] \wurzel{a} [/mm] und [mm] \wurzel[n]{a} [/mm] sind nur dann sinnvolle, eindeutig
definierte Terme, wenn [mm] a\in \IR_0^+
[/mm]
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