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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:01 So 17.02.2008 | | Autor: | aXe |
| Aufgabe | Berechnen Sie alle Lösungen [mm] z\in\IC [/mm] der Gleichung:
[mm] z^6 - (2+2i)z^3 - (3+2i)=0 [/mm] |
Hallo,
also diese Gleichung habe ich schon fast zu Ende gelöst, komme aber mit einem grundlegenden Problem wohl nicht klar. Kurz meine Rechenschritte:
Ich habe [mm]z^3 = w[/mm] substituiert. Hab dann mit der Methode [mm]u=x+iy [/mm]und[mm] u^2=a[/mm] versucht die Gleichung zu lösen.
Nun komme ich zur Musterlösung:
Für [mm]x^2[/mm] erhalten die 4 und -1, was bei mir ebenfalls so rauskommt. Aber es wird nur [mm]x=4[/mm] genommen, weil [mm] u=x+iy [/mm] Reell ist.
Jedenfalls erhalten die in der Lösung [mm]u=I(2+i)[/mm], was ja auch passt.
Letztendlich: [mm]w=1+i \pm (2+i) [/mm]also [mm]w=-1[/mm] oder [mm]w=3+2i[/mm]
Punkt 1 den ich nicht verstehe: Da [mm]\left| z \right| \le 1[/mm] gefordert ist, muss auch [mm]\left| w \right| = \left| z \right|^3 \le 1[/mm] sein. Es kommt nur [mm]w=-1[/mm] in Frage.
Warum muss das kleiner als 1 sein? Das wurde nirgendswo festgelegt...
Und mit der Rücksubstitution komme ich ebenfalls nicht klar. Hier hab ich ja dann [mm]w=-1=z^3[/mm]. Wie gehe ich das am besten an? Mir ist das Prinzip mal garnicht klar.
Danke im vorraus.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:01 So 17.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Berechnen Sie alle Lösungen [mm]z\in\IC[/mm] der Gleichung:
> [mm]z^6 - (2+2i)z^3 - (3+2i)=0[/mm]
> Hallo,
> also diese Gleichung habe ich schon fast zu Ende gelöst,
> komme aber mit einem grundlegenden Problem wohl nicht klar.
> Kurz meine Rechenschritte:
>
> Ich habe [mm]z^3 = w[/mm] substituiert. Hab dann mit der Methode
> [mm]u=x+iy [/mm]und[mm] u^2=a[/mm] versucht die Gleichung zu lösen.
warum löst du nicht direkt die Gleichung für w nach der pq formel oder quadratischer Ergänzung?
Dann hast du
[mm] w=1+i\pm\wurzel{3+4i}=1+i\pm(2+i) [/mm]
> Nun komme ich zur Musterlösung:
> Für [mm]x^2[/mm] erhalten die 4 und -1, was bei mir ebenfalls so
> rauskommt. Aber es wird nur [mm]x=4[/mm] genommen, weil [mm]u=x+iy[/mm] Reell
> ist.
dies mit dem u versteh ich nicht, irgenwie bist du von w auf u gekommen.
> Jedenfalls erhalten die in der Lösung [mm]u=I(2+i)[/mm], was ja auch
> passt.
und was I(2+i) bedeuten soll weiss ich auch nicht.
>
> Letztendlich: [mm]w=1+i \pm (2+i) [/mm]also [mm]w=-1[/mm] oder [mm]w=3+2i[/mm]
> Punkt 1 den ich nicht verstehe: Da [mm]\left| z \right| \le 1[/mm]
> gefordert ist, muss auch [mm]\left| w \right| = \left| z \right|^3 \le 1[/mm]
> sein. Es kommt nur [mm]w=-1[/mm] in Frage.
> Warum muss das kleiner als 1 sein? Das wurde nirgendswo
> festgelegt...
Die Gleichung oben hat garantiert 6 Lösungen. Also musst du in der Aufgabenstellung irgendwas übersehen haben, dass nur die Lösungen für [mm] |z|\le1 [/mm] gesucht sind. anders ist dieser Punkt nicht zu erklären!
> Und mit der Rücksubstitution komme ich ebenfalls nicht
> klar. Hier hab ich ja dann [mm]w=-1=z^3[/mm]. Wie gehe ich das am
> besten an? Mir ist das Prinzip mal garnicht klar.
Kennst du die Darstellung von [mm] z0r*e^{i\phi} [/mm] das ist die beste um irgendwelche Wurzeln zu ziehen.
[mm] -1=e^{i\pi+k*2\pi*i} [/mm] damit [mm] (-1)^{1/3}=(e^{i\pi+k*2\pi*i})^{1/3}
[/mm]
und damit für k=0,1,2 die 3 verschiedenen Wurzeln.
(Falls da noch Fragen zu deinem X sind, müsstest du deine Rechnung aufschreiben.)
Gruss leduart
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