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Komplexe Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:04 Mo 08.07.2013
Autor: Marcel88

Aufgabe
Zeigen Sie: cosh(ix) = cos(x)

hey,

ich weiß  nicht wie ich die Aufgabe beginnen kann.
das Einzige was mir eingefallen ist cos (x) = [mm] \bruch{1}{2}(e^{ix} [/mm] + [mm] e^{-ix}). [/mm]
Leider komme ich damit nicht weiter, ich wäre für einen Tipp dankbar.


Viele Grüße

Marcel

        
Bezug
Komplexe Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:10 Mo 08.07.2013
Autor: fred97


> Zeigen Sie: cosh(ix) = cos(x)
>  hey,
>  
> ich weiß  nicht wie ich die Aufgabe beginnen kann.
>  das Einzige was mir eingefallen ist cos (x) =
> [mm]\bruch{1}{2}(e^{ix}[/mm] + [mm]e^{-ix}).[/mm]
>  Leider komme ich damit nicht weiter, ich wäre für einen
> Tipp dankbar.

Es ist [mm] cosh(z)=\bruch{1}{2}(e^z+e^{-z}) [/mm] für z [mm] \in \IC. [/mm]

Für z=ix mit x [mm] \in \IR [/mm] ist dann

     cosh(ix)= .... ?

FRED

>  
>
> Viele Grüße
>
> Marcel  


Bezug
                
Bezug
Komplexe Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:56 Mo 08.07.2013
Autor: Marcel88


> > Zeigen Sie: cosh(ix) = cos(x)
>  >  hey,
>  >  
> > ich weiß  nicht wie ich die Aufgabe beginnen kann.
>  >  das Einzige was mir eingefallen ist cos (x) =
> > [mm]\bruch{1}{2}(e^{ix}[/mm] + [mm]e^{-ix}).[/mm]
>  >  Leider komme ich damit nicht weiter, ich wäre für
> einen
> > Tipp dankbar.
>  
> Es ist [mm]cosh(z)=\bruch{1}{2}(e^z+e^{-z})[/mm] für z [mm]\in \IC.[/mm]
>  
> Für z=ix mit x [mm]\in \IR[/mm] ist dann
>  
> cosh(ix)= .... ?

es ist cosh(ix) = [mm] \bruch{1}{2}(e^{ix} +e^{-ix}) [/mm]

somit würde cos(x) = cosh(ix) bedeuten.

Aber das ist doch kein vollständiger Beweis.

>  
> FRED
>  >  
> >
> > Viele Grüße
> >
> > Marcel  
>  


Bezug
                        
Bezug
Komplexe Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:57 Mo 08.07.2013
Autor: fred97


> > > Zeigen Sie: cosh(ix) = cos(x)
>  >  >  hey,
>  >  >  
> > > ich weiß  nicht wie ich die Aufgabe beginnen kann.
>  >  >  das Einzige was mir eingefallen ist cos (x) =
> > > [mm]\bruch{1}{2}(e^{ix}[/mm] + [mm]e^{-ix}).[/mm]
>  >  >  Leider komme ich damit nicht weiter, ich wäre für
> > einen
> > > Tipp dankbar.
>  >  
> > Es ist [mm]cosh(z)=\bruch{1}{2}(e^z+e^{-z})[/mm] für z [mm]\in \IC.[/mm]
>  
> >  

> > Für z=ix mit x [mm]\in \IR[/mm] ist dann
>  >  
> > cosh(ix)= .... ?
>  
> es ist cosh(ix) = [mm]\bruch{1}{2}(e^{ix} +e^{-ix})[/mm]
>  
> somit würde cos(x) = cosh(ix) bedeuten.
>  
> Aber das ist doch kein vollständiger Beweis.

Warum denn nicht ?

FRED

>  
> >  

> > FRED
>  >  >  
> > >
> > > Viele Grüße
> > >
> > > Marcel  
> >  

>  


Bezug
                                
Bezug
Komplexe Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:16 Mo 08.07.2013
Autor: Marcel88

weil ich folgenden Ansatzpunkt verwendet habe cosh(ix) = cos(x)
bzw. cosh(ix) = $ [mm] \bruch{1}{2}(e^{ix} +e^{-ix}) [/mm] $
und das kann ich nur sagen wenn ich davon bereits ausgehe ohne es zu zeigen das die folgende Beziehung gilt: cosh(ix) = cos(x)


und deshalb cosh(ih) = cos(x) = [mm] \bruch{1}{2}*(e^{i*x}+e^{-i*x}) [/mm]

ich zeige ja nicht durch Umformung dass sich der Cosinushyperbolikus in den cosinus umwandeln lässt.


Viele  Grüße

Marcel

Bezug
                                        
Bezug
Komplexe Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:21 Mo 08.07.2013
Autor: schachuzipus

Hallo Marcel,


> weil ich folgenden Ansatzpunkt verwendet habe cosh(ix) = cos(x)

Nein, das nimmst du nicht als Ansatz.

Du hast die linke Seite genommen, die Definition vom [mm] $\cosh$ [/mm] verwendet, das umgeformt (bzw. steht es mit $ix$ als Argument direkt da) in die Definition von [mm] $\cos(x)$ [/mm]

> bzw. cosh(ix) = [mm]\bruch{1}{2}(e^{ix} +e^{-ix})[/mm]
> und das
> kann ich nur sagen wenn ich davon bereits ausgehe ohne es
> zu zeigen das die folgende Beziehung gilt: cosh(ix) =
> cos(x)

>
>

> und deshalb cosh(ih) = cos(x) =
> [mm]\bruch{1}{2}*(e^{i*x}+e^{-i*x})[/mm]

>

> ich zeige ja nicht durch Umformung dass sich der
> Cosinushyperbolikus in den cosinus umwandeln lässt.

Doch!

>
>

> Viele Grüße

>

> Marcel

Gruß

schachuzipus

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