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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:48 Sa 17.01.2009 | | Autor: | Boki87 |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Es geht um den Teil a:
meine erste Überlegung war, dass ich die Grenzen von 0 bis [mm] 2\pi [/mm] legen kann wegen [mm] f(x+2\pi)=f(x)
[/mm]
[mm] c_{n}=\bruch{1}{2\pi}\integral_{0}^{2\pi}{Cosh(x) e^{-inx}dx}
[/mm]
Anstelle von Cosh(x) kann ich ja schreiben [mm] \bruch{e^{x}+e^{-x}}{2}
[/mm]
[mm] c_{n}=\bruch{1}{2\pi}\integral_{0}^{2\pi}{ \bruch{e^{x}+e^{-x}}{2} e^{-inx}dx}
[/mm]
Wenn ich das integrier krieg ich:
[mm] c_{n}=\bruch{1}{4\pi}[\bruch{e^{x(1-in)}}{1-in}+\bruch{e^{x(-1-in)}}{-1-in}]_{0}^{2\pi}
[/mm]
[mm] c_{n}=\bruch{1}{4\pi}(\bruch{e^{2\pi(1-in)}}{1-in}+\bruch{e^{2\pi(-1-in)}}{-1-in}-\bruch{1}{1-in}-\bruch{1}{-1-in})
[/mm]
Stimmt das soweit?
Und wie kann ich nun weiter umformen um das [mm] c_{n} [/mm] in einer etwas schöneren Form in [mm] f(x)=\summe_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}e^{inx} [/mm] einzusetzen?
Ich habe mir überlegt das es irgendeine Umformung sein muss die der eulerschen Formel zugrunde liegt, aber ich komm einfach nicht drauf.
Vielen Dank
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo Boki87,
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Es geht um den Teil a:
>
> meine erste Überlegung war, dass ich die Grenzen von 0 bis
> [mm]2\pi[/mm] legen kann wegen [mm]f(x+2\pi)=f(x)[/mm]
Dann hast Du keine Symmetrie.
Besser ist, daß Du das vorgegebene Intervall nimmst.
>
> [mm]c_{n}=\bruch{1}{2\pi}\integral_{0}^{2\pi}{Cosh(x) e^{-inx}dx}[/mm]
>
> Anstelle von Cosh(x) kann ich ja schreiben
> [mm]\bruch{e^{x}+e^{-x}}{2}[/mm]
>
> [mm]c_{n}=\bruch{1}{2\pi}\integral_{0}^{2\pi}{ \bruch{e^{x}+e^{-x}}{2} e^{-inx}dx}[/mm]
>
> Wenn ich das integrier krieg ich:
>
> [mm]c_{n}=\bruch{1}{4\pi}[\bruch{e^{x(1-in)}}{1-in}+\bruch{e^{x(-1-in)}}{-1-in}]_{0}^{2\pi}[/mm]
>
>
> [mm]c_{n}=\bruch{1}{4\pi}(\bruch{e^{2\pi(1-in)}}{1-in}+\bruch{e^{2\pi(-1-in)}}{-1-in}-\bruch{1}{1-in}-\bruch{1}{-1-in})[/mm]
>
> Stimmt das soweit?
>
> Und wie kann ich nun weiter umformen um das [mm]c_{n}[/mm] in einer
> etwas schöneren Form in
> [mm]f(x)=\summe_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}e^{inx}[/mm] einzusetzen?
>
> Ich habe mir überlegt das es irgendeine Umformung sein muss
> die der eulerschen Formel zugrunde liegt, aber ich komm
> einfach nicht drauf.
>
> Vielen Dank
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 So 18.01.2009 | | Autor: | Boki87 |
Ok das habe ich jetzt gemacht, dann habe ich:
[mm] \bruch{1}{4\pi}(\bruch{e^{\pi(-in+1)}}{1-in}-\bruch{e^{-\pi(in+1)}}{1+in}-\bruch{e^{-\pi(-in+1)}}{1-in}+\bruch{e^{\pi(in+1)}}{1+in})
[/mm]
Wie kann ich denn nun weiter umformen?
Danke schön
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Hallo Boki87,
> Ok das habe ich jetzt gemacht, dann habe ich:
>
> [mm]\bruch{1}{4\pi}(\bruch{e^{\pi(-in+1)}}{1-in}-\bruch{e^{-\pi(in+1)}}{1+in}-\bruch{e^{-\pi(-in+1)}}{1-in}+\bruch{e^{\pi(in+1)}}{1+in})[/mm]
>
> Wie kann ich denn nun weiter umformen?
Zunächst mache die Nenner rational.
Dann kannst Du noch etwas zusammenfassen.
>
> Danke schön
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:59 So 18.01.2009 | | Autor: | Boki87 |
Sorry aber ich komm trotzdem nicht weiter.
Ich habe nun stehen:
[mm] \bruch{1}{4\pi}(\bruch{e^{\pi(-in+1)}+ine^{\pi(-in+1)}-e^{-\pi(in+1)}+ine^{-\pi(in+1)}-e^{-\pi(-in+1)}-ine^{-\pi(-in+1)}+e^{\pi(in+1)}-ine^{\pi(in+1)}}{n^2+1})
[/mm]
Kann ich denn überhaupt noch weiter vereinfachen?
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Hallo Boki97,
> Sorry aber ich komm trotzdem nicht weiter.
>
> Ich habe nun stehen:
>
> [mm]\bruch{1}{4\pi}(\bruch{e^{\pi(-in+1)}+ine^{\pi(-in+1)}-e^{-\pi(in+1)}+ine^{-\pi(in+1)}-e^{-\pi(-in+1)}-ine^{-\pi(-in+1)}+e^{\pi(in+1)}-ine^{\pi(in+1)}}{n^2+1})[/mm]
>
> Kann ich denn überhaupt noch weiter vereinfachen?
Jetzt kannst Du die Summanden mit
[mm]e^{\pi\left(1-in\right)}[/mm] bzw. [mm]e^{-\pi\left(1+in\right)}[/mm]
zusammenfassen.
Desweitern gilt
[mm]e^{\pi\left(1-in\right)}=e^{\pi}*\cos\left(n\pi\right)[/mm]
bzw.
[mm]e^{-\pi\left(1-in\right)}=e^{-\pi}*\cos\left(n\pi\right)[/mm]
Gruß
MathePower
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