Komplexe Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:35 Mi 27.04.2011 | | Autor: | Nadia.. |
| Aufgabe | Hallo Leute ^^
Sei $z [mm] \in \mathbb [/mm] C$ fest und betrachte die [mm] Folge(z^n)_n>-1 [/mm] der Potenzen von z. Beweisen sie
i). Für $|z|<1 $ gilt $ [mm] z^n \to [/mm] 0 $
ii). Für $|z|>1 $ gilt $ [mm] z^n \to \infty [/mm] $
iii) Für $|z|=1 $ gilt [mm] $z^n$ [/mm] hat [mm] $(z^n)$ [/mm] eine konvergente Teilfolge. |
Mein Ansatz lautet
zu
i
Es gilt [mm] $|z^n| \ge z^n$
[/mm]
[mm] $lim_{n \to \infty}|z|^n\ge lim_{n \to \infty}z^n> \to [/mm] 0$
Ist das richtig so ?
Ich bedanke mich im Voraus.
Viele Grüße
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Hallo Nadia,
entweder Du hast die Aufgabe nicht originalgetreu angegeben oder der Aufgabensteller hat komplett einen an der Waffel.
Die komplexen Zahlen sind nicht anzuordnen; insbesondere gibt es keine Kleiner- oder Größer-Relation.
> Sei [mm]z \in \mathbb C[/mm] fest und betrachte die [mm]Folge(z^n)_n>-1[/mm]
> der Potenzen von z.
Da fängts schon an. Was soll das heißen?
> Beweisen sie
> i). Für [mm]|z|<1[/mm] gilt [mm]z^n \to 0[/mm]
Hm. Das kann man noch hinbiegen, auch wenns so nicht richtig formuliert ist.
> ii). Für [mm]|z|>1[/mm] gilt [mm]z^n \to \infty[/mm]
Was soll das heißen?
> iii) Für [mm]|z|=1[/mm] gilt [mm]z^n[/mm] hat [mm](z^n)[/mm] eine konvergente
> Teilfolge.
Soso. Sei [mm] z=\bruch{1}{2}\wurzel{2}(1+i).
[/mm]
Dann ist jede Teilfolge, die nur jedes (8n+k)-te Folgenglied beinhaltet, konvergent (k fest, [mm] n\in\IN, [/mm] also z.B. 3,19,27,67,75,99...). Solche Teilfolgen sind konstant und mithin konvergent. Alle anderen aber nicht. Naja, das scheint also zu passen.
Aber dann versuch doch mal das gleiche für [mm] z=\bruch{1}{\pi}+i*\wurzel{\bruch{\pi^2-1}{\pi^2}}
[/mm]
Die konvergente Teilfolge möchte ich sehen.
> Mein Ansatz lautet
> zu
> i
> Es gilt [mm]|z^n| \ge z^n[/mm]
Aha. Wie ist das definiert?
> [mm]lim_{n \to \infty}|z|^n\ge lim_{n \to \infty}z^n> \to 0[/mm]
Aha. Wie ist das definiert?
> Ist das richtig so ?
Nein!
Aber es scheint nicht an Dir zu liegen.
> Ich bedanke mich im Voraus.
Oh, äh, gerne.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:23 Mi 27.04.2011 | | Autor: | abakus |
> Hallo Nadia,
>
> entweder Du hast die Aufgabe nicht originalgetreu angegeben
> oder der Aufgabensteller hat komplett einen an der Waffel.
> Die komplexen Zahlen sind nicht anzuordnen; insbesondere
> gibt es keine Kleiner- oder Größer-Relation.
>
> > Sei [mm]z \in \mathbb C[/mm] fest und betrachte die [mm]Folge(z^n)_n>-1[/mm]
> > der Potenzen von z.
>
> Da fängts schon an. Was soll das heißen?
>
> > Beweisen sie
> > i). Für [mm]|z|<1[/mm] gilt [mm]z^n \to 0[/mm]
>
> Hm. Das kann man noch hinbiegen, auch wenns so nicht
> richtig formuliert ist.
>
> > ii). Für [mm]|z|>1[/mm] gilt [mm]z^n \to \infty[/mm]
>
> Was soll das heißen?
>
> > iii) Für [mm]|z|=1[/mm] gilt [mm]z^n[/mm] hat [mm](z^n)[/mm] eine konvergente
> > Teilfolge.
>
> Soso. Sei [mm]z=\bruch{1}{2}\wurzel{2}(1+i).[/mm]
> Dann ist jede Teilfolge, die nur jedes (8n+k)-te
> Folgenglied beinhaltet, konvergent (k fest, [mm]n\in\IN,[/mm] also
> z.B. 3,19,27,67,75,99...). Solche Teilfolgen sind konstant
> und mithin konvergent. Alle anderen aber nicht. Naja, das
> scheint also zu passen.
>
> Aber dann versuch doch mal das gleiche für
> [mm]z=\bruch{1}{\pi}+i*\wurzel{\bruch{\pi^2-1}{\pi^2}}[/mm]
> Die konvergente Teilfolge möchte ich sehen.
Hallo,
wenn arg(z) ein rationales Vielfaches von [mm] 2\pi [/mm] ist, dann nimmt [mm] arg(z^n) [/mm] nur endlich viele Werte an, und zwar in gleichen Abständen und "gleich oft" - nämlich jeweils unendlich oft.
Wenn arg(z) ein irrationales Vielfaches von [mm] 2\pi [/mm] ist, dann werden die unendlich vielen (und sämtlich verschiedenen!) Werte von [mm] z^n [/mm] über den ganzen Einheitskreis gleich dicht verteilt. Somit gibt es in JEDER [mm] \epsilon [/mm] -Umgebung eines Punktes auf dem Einheitskreis unendlich viele Folgenglieder von [mm] z^n.
[/mm]
Man muss sich also nur aus einer Folge von kleiner werdenden [mm] \epsilon [/mm] -Umgebungen einer beliebigen komplexen Zahl des Einheitskreises jeweils ein darin liegendes Folgenglied von [mm] z^n [/mm] aussuchen - schon hat man eine konvergente Teilfolge.
Gruß Abakus
>
> > Mein Ansatz lautet
> > zu
> > i
> > Es gilt [mm]|z^n| \ge z^n[/mm]
>
> Aha. Wie ist das definiert?
>
> > [mm]lim_{n \to \infty}|z|^n\ge lim_{n \to \infty}z^n> \to 0[/mm]
>
> Aha. Wie ist das definiert?
>
> > Ist das richtig so ?
>
> Nein!
> Aber es scheint nicht an Dir zu liegen.
>
> > Ich bedanke mich im Voraus.
>
> Oh, äh, gerne.
>
> Grüße
> reverend
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:05 Do 28.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Leute ^^
> Sei [mm]z \in \mathbb C[/mm] fest und betrachte die [mm]Folge(z^n)_n>-1[/mm]
> der Potenzen von z. Beweisen sie
> i). Für [mm]|z|<1[/mm] gilt [mm]z^n \to 0[/mm]
Das dürftest Du hinkriegen:
[mm] $|z^n-0| =|z|^n$ [/mm] und die reelle Folge [mm] (|z|^n) [/mm] ist bekanntlich eine Nullfolge.
> ii). Für [mm]|z|>1[/mm] gilt [mm]z^n \to \infty[/mm]
@reverend: wenn unsere nadia die Riemannsche Zahlenkugel schon hatte, ist die Bedeutung von [mm]z^n \to \infty[/mm] klar.
@nadia: [mm] |z^n|=|z|^n [/mm] . Und was treibt die Folge [mm] (|z|^n) [/mm] im Falle |z|>1 ?
>
> iii) Für [mm]|z|=1[/mm] gilt [mm]z^n[/mm] hat [mm](z^n)[/mm] eine konvergente
> Teilfolge.
In Diesem Fall ist [mm](z^n)[/mm] beschränkt und auch in [mm] \IC [/mm] gilt der Satz von Bolzano-Weierstraß .........................
> Mein Ansatz lautet
> zu
> i
> Es gilt [mm]|z^n| \ge z^n[/mm]
das ist völlig sinnlos !
> [mm]lim_{n \to \infty}|z|^n\ge lim_{n \to \infty}z^n> \to 0[/mm]
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> Ist das richtig so ?
Nein es ist Quark !
FRED
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> Ich bedanke mich im Voraus.
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>
> Viele Grüße
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