Komplexe Aufgabe zum Hypothest < Statistik/Hypothesen < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:50 Di 12.02.2008 | | Autor: | jkwon |
| Aufgabe | | Die Aufgabenstellung steht drunter: |
Hallo!
Folgende Aufgabe habe ich bearbeitet wollte fragen obs richtig ist
Aufgabe: Von einem Würfel ist bekannt, dass er entweder mit der Wahrscheinlichkeit 1/6 oder 1/10 die 6 fällt. H0 ist 1/10. Man soll entscheiden welcher Fall vorliegt.
a) Bei den 100 Würfeln fallen 15 Sechsen. Kann man die Nullhypothese mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% ablehnen?
b) Ist die Anzahl der Sechsen kleiner als k soll die Hypothese, soll die Nullhypothese akzeptiert, ansonsten verworfen werden. Wie ist k bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 1% zu wählen? Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art?
c) Wie ist der Ablehnungsbereich für die Nullhypothese festzulegen, damit der Unterschied der Risiken 1. Art und der Risiken 2. Art möglichst klein wird? Wie ist der Ablehnungsbereich für H0 festzulegen, damit die Summe der Wahrscheinlichkeiten für beide Fehler minimal wird?
a) Es gilt:
H0: p0=1/10
H1: p1=1/6
Da p0<p1 gilt hier ein rechtsseitger Test:
Es gilt für den Erwartungswert für H0, wenn die Zufallsvariable X (binomialverteilt: p=1/6, n=100) die Anzahl an Sechsen angibt folgendes:
E(x)=10 Sigma=3
Jetzt müssen wir, dass Interwall I (0;K) herausfinden, für das p (0;k)= 0,95. Das gilt für I (0;16), das ist unser Annahmebereich. Der Ablehnungsbereich ist also von (17;100). Die Anzahl an Sechsen in der Stichprobe ist im Annahmebereich. Die Hypothese kann nicht abgelehnt werden.
b) Hier dachte ich mir, dass nun gelten muss
P(0;k)=0,99, da habe ich das Interwall (0;17) raus. Der Ablehnungsbereich ist dann (18;100).
Für den Fehler 2. Art gilt, dass der mit der wahrscheinlichkeit 1/6 im Annahmebereich von H0 liegt. Es gilt somit:
binosum (100,1/6,17)= 59,94%
c) Nun muss man ja den Ablehungsbereich bzw. den Annahmebereich, herausfinden, dass der Betrag der Differenz von Fehler 1. Art (alpha) und Fehler 2. Art (betta) klein wird. Das gleiche gilt für die Summe:
Allgemein gilt für Fehler 1. Art:
Alpha element Ablehnungsbereich also allgemein p(k+1;100) mit p=0,1--> 1-p(0;k) mit p=0,1
Allgemein gilt für Fehler 2. Art:
Betta element Annahmebereich also allgemein p(0;k) mit p=1/6
Für den Unterschied, also die Differenz gilt dann:
/Alpha-Betta/
Ich habe einfach mir mit dem GTR, das ganze als Funktion betrachtet und mir eine Wertetabelle gezeichnet und geguckt, wo das klein wird: Da habe ich für K=12 raus, also gilt für den Ablehnungsbereich (13;100)
Für die Summe habe ich, dass gleich raus.
Ist das richtig?Ich brauche unbedingt die Lösung oder eure Hilfe. Ich schreibe nämlich demnächst LK-Klausur. Danke euch. Ist wirklich sehr wichtig.
Ich habe diese Frage in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt. www.matheboard.de
MFG
Jkwon
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Hallo jkwon und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Die Aufgabenstellung steht drunter:
> Hallo!
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> Folgende Aufgabe habe ich bearbeitet wollte fragen obs
> richtig ist
>
> Aufgabe: Von einem Würfel ist bekannt, dass er entweder mit
> der Wahrscheinlichkeit 1/6 oder 1/10 die 6 fällt. H0 ist
> 1/10. Man soll entscheiden welcher Fall vorliegt.
>
> a) Bei den 100 Würfeln fallen 15 Sechsen. Kann man die
> Nullhypothese mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5%
> ablehnen?
> b) Ist die Anzahl der Sechsen kleiner als k soll die
> Hypothese, soll die Nullhypothese akzeptiert, ansonsten
> verworfen werden. Wie ist k bei einer
> Irrtumswahrscheinlichkeit von 1% zu wählen? Wie groß ist
> dann die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art?
> c) Wie ist der Ablehnungsbereich für die Nullhypothese
> festzulegen, damit der Unterschied der Risiken 1. Art und
> der Risiken 2. Art möglichst klein wird? Wie ist der
> Ablehnungsbereich für H0 festzulegen, damit die Summe der
> Wahrscheinlichkeiten für beide Fehler minimal wird?
>
bitte benutze unseren Formeleditor:
> a) Es gilt:
> [mm] H_0: p_0=\bruch{1}{10}
[/mm]
> [mm] H_1: p_1=\bruch{1}{6}
[/mm]
>
> Da [mm] p_0
>
> Es gilt für den Erwartungswert für H0, wenn die
> Zufallsvariable X (binomialverteilt: p=1/6, n=100) die
> Anzahl an Sechsen angibt folgendes:
>
> E(x)=10 Sigma=3 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
du wolltest doch mit [mm] p_0=\bruch{1}{6} [/mm] rechnen!
> Jetzt müssen wir, dass Interwvall I (0;K) herausfinden, für
> das p (0;k)= 0,95. Das gilt für I (0;16), das ist unser
> Annahmebereich. Der Ablehnungsbereich ist also von
> (17;100). Die Anzahl an Sechsen in der Stichprobe ist im
> Annahmebereich. Die Hypothese kann nicht abgelehnt werden.
Ich rechne anders:
[mm] H_1 [/mm] mit [mm] p_1=\bruch{1}{6} [/mm] kann nicht angenommen werden, wenn [mm] P(X\le k)\le [/mm] 0,05 ist:
für [mm] k\le10 [/mm] ist [mm] P(X\le 10)\le0,0427 [/mm] nach meiner Tabelle: [mm] H_1 [/mm] ist also abzulehnen, der Würfel ist nicht regulär.
>
> b) Hier dachte ich mir, dass nun gelten muss
> P(0;k)=0,99, da habe ich das Interwvall (0;17) raus. Der
> Ablehnungsbereich ist dann (18;100).
>
Aus deinem Aufgabenteil b) werde ich rein sprachlich nicht schlau. Formuliere ihn mal genauer...
> Für den Fehler 2. Art gilt, dass der mit der
> wahrscheinlichkeit 1/6 im Annahmebereich von H0 liegt. Es
> gilt somit:
>
> binosum (100,1/6,17)= 59,94%
>
> c) Nun muss man ja den Ablehungsbereich bzw. den
> Annahmebereich, herausfinden, dass der Betrag der Differenz
> von Fehler 1. Art (alpha) und Fehler 2. Art (betta) klein
> wird. Das gleiche gilt für die Summe:
>
> Allgemein gilt für Fehler 1. Art:
> Alpha element Ablehnungsbereich also allgemein p(k+1;100)
> mit p=0,1--> 1-p(0;k) mit p=0,1
>
> Allgemein gilt für Fehler 2. Art:
> Betta element Annahmebereich also allgemein p(0;k) mit
> p=1/6
>
> Für den Unterschied, also die Differenz gilt dann:
> /Alpha-Betta/
>
> Ich habe einfach mir mit dem GTR, das ganze als Funktion
> betrachtet und mir eine Wertetabelle gezeichnet und
> geguckt, wo das klein wird: Da habe ich für K=12 raus, also
> gilt für den Ablehnungsbereich (13;100)
>
> Für die Summe habe ich, dass gleich raus.
>
> Ist das richtig?Ich brauche unbedingt die Lösung oder eure
> Hilfe. Ich schreibe nämlich demnächst LK-Klausur. Danke
> euch. Ist wirklich sehr wichtig.
> Ich habe diese Frage in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt. www.matheboard.de
>
> MFG
>
> Jkwon
>
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 Mi 13.02.2008 | | Autor: | jkwon |
Hallo!
a) Ich habe außversehen bei der Zufallsvariable p1 genommen, aber es muss ja p0 sein. Deswegen passt das nicht. Aber das prinzip ist klar.
b) Bei b muss es doch eine Grenze k geben für die gilt P(0<=x<=K)=0,95 und die habe ich halt dort herausgefunden.
c) Ist c denn richtig. Wäre cool wenn du das auch mal durchrechnen könntest.
MFG
Jkwon
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Hallo jkwon,
> Hallo!
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> a) Ich habe außversehen bei der Zufallsvariable p1
> genommen, aber es muss ja p0 sein. Deswegen passt das
> nicht. Aber das prinzip ist klar.
>
> b) Bei b muss es doch eine Grenze k geben für die gilt
> P(0<=x<=K)=0,95 und die habe ich halt dort herausgefunden.
Das kann ich so nicht nachprüfen, weil mir immer noch nicht die Fragestellung klar genug formuliert ist.
nachmal:
[mm] H_0: p_0=.....
[/mm]
[mm] H_1: p_1=.....
[/mm]
welches p wählst du jeweils?
Fehler 1. Art ist definiert als: [mm] \alpha=P_{H_0}(H_1) [/mm] : Man entscheidet sich (fälschlicherweise) für [mm] H_1, [/mm] obwohl [mm] H_0 [/mm] zugrunde liegt.
Analog geht das dann für den Fehler 2. Art.
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> c) Ist c denn richtig. Wäre cool wenn du das auch mal
> durchrechnen könntest.
genauso unklar; im übrigen ist von der Summe der Wktn. die Rede!
Gruß informix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:28 Fr 15.02.2008 | | Autor: | jkwon |
Hallo!
Hier nochmals mein Ansatz:
a)Es steht ja im Aufgabentext, dass H0= 0,1 ist. Ich habe jetzt eine Zufallsvariable X definiert, die binomialverteilt mit p=0,1, n=100 ist. Da das Signifikanzniveau 5% ist und es sich hier um einen rechtsseitigen Test handelt ist der Annahmebereich A(0,k) und der Ablehnungsbereich(k+1;100). Es gilt ja nach der Sigma-Regel für einen rechtseitigen Test, dass k=Erwartungswert+1.64*Sigma ist. Für dieses Interwall A (0;k) gilt dann, wenn man die Werte einsetzt gilt, dass der Annahmbereich A (0;15) ist.. Dieser Bereich hat eine Fläche von ca. 0,95, wenn man die Sigma Regel in Betracht zieht. In Wirklichkeit ist p(0;15)=0,96011. Also ist der Fehler 1. Art:
1-p(0,15)=0,03989=3,989%.
Für den Fehler 2. Art gilt allgemein, dass die Stichprobe im Annahmebereich liegt, aber H0 falsch ist, also p0 ungleich 0,1. Da der Würfel dann mit der Wahrscheinlichkeit 1/6 geworfen wird, gilt für diesen Fehler:
Fehler 2. Art.: Es muss die Wahrscheinlichkeit für das Interwall (0;15) ausgerechnet werden, aber nun mit der Wahrscheinlichkeit 1/6. Das ergibt ungefähr 38,8%.
b) Und bei b soll nun der Annahmebereich die Wahrscheinlichkeit 99% haben und der Ablehnungsbereich 1% sein. Das heißt der Annahmebereich vergrößert sich. Ich habe mir eine Wertetabelle der Binomialverteilung mit p=0,1 und n=100 mithilfe meines Taschenrechners ermitteln lassen. Da der Annahmebereich bei 0 beginnt, betrachtet man die kumulierte Binomialverteilung und such sich einen Stelle k heraus für die das Interwall (0;k) annäherend 99% ergibt. Das war ungefähr bei k=17 der Fall. Es gilt bei einem Signifikanzniveau von 1% für den Annahmebereich A (0,1,2...,17) und für den Ablehnungsbereich (18,19,20,....,100).
c) Hier war sowohl nach der Summe und der Differenz beider Fehlerarten gefragt.
Allgemein gilt für einen Fehler 2. Art. bei einem rechtseitigen Test, dass das Ergebis der Stichprobe im Annahmebereich liegt, aber H0 falsch ist, also p=1/6 gilt. Man muss sich eine rechte Grenze k suchen, damit sowohl die Summe als auch die Differenz der Fehlerwahrscheinlichkeiten minimal wird.
Ich habe deswegen mir die kumulierte Binomialverteilung von n=100, p=1/6 angeguckt. Diese Binomialverteilung nenne ich mal B. B= Fehler 2. Art.
Allgemein gilt für einen Fehler 1. Art, dass die Nullhypothese wahr ist, aber abgelehnt wird. D.h. das Ergebnis der Stichprobe ist im Ablehnungsbereich. Da es sich um einen rechtsseitigen Test handelt, ist der Ablehnungsbereich nur rechts. Da k die letzte Stelle des Annahmbereiches ist, ist die erste Grenze des Ablehnungsbereiches k+1. Der Ablehnungsbereich endet bei 100, da n=100. Auch hier habe ich mir die kumulierte Binomialverteilung angeguckt mit n=100, jedoch mit p=0,1 in den Grenzen (k+1;100). Diese Binomialverteilung nenne ich F. = Fehler 1. Art
Für die Summe habe ich jetzt B+F gebildet und dann in der Wertetabelle des GTR ein minimum bei k=12 gefunden. Für den Unterschied also die Differenz habe ich auch das minimum bei k=12 gefunden. Ist das nun richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:49 Fr 15.02.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo!
Hier geht es ja irgendwie drunter und drüber aber nunja; ich versuche mich auch mal zu beteiligen.
Bei a) ist ja gefragt, ob gilt [mm] P_{p_{0}}(x\ge15) \le [/mm] 0,05.
Ich bekomme 7,25% als Ergebnis, so dass nicht mehr im Annahmebereich liegt. Falls 16 Mal eine 6 gewürfelt worden wäre, hätte man die Nullhypothese mit einer Wkt. von 5% verwerfen können, denke ich.
Bei der b) bekomme ich als k den Wert 19;
[mm] P_{\bruch{1}{10}}(x\ge19) [/mm] = 0,45% [mm] \le [/mm] 1% während für deine Zahl gilt:
[mm] P_{\bruch{1}{10}}(x\ge18) [/mm] = 1,0007% > 1%, so dass das Kriterium nicht erfüllt wäre. Bei k= 17 demnach auch nicht.
Leider finde ich deine Formulierungen ein wenig unglücklich gewählt und möchte dich auch noch, wie Informix bereits 2 mal darauf hinweisen, dass es Intervall mit v, und nicht mit w, heißt ;o
Für die c) habe ich auch einfach mal ebend die Summen der beiden Wktn. gebildet.
Ich habe als Entscheidungsregel k=14 mit einer Summe der Fehlerwktn. von 32,388% erhalten; für die Differenz habe ich einen minimalen Wert bei k=13 mit einer Differenz von 6,85%.
Ich habe mit den Fehlerwktn.
[mm] P_{\bruch{1}{10}}(x\ge [/mm] k) und [mm] P_{\bruch{1}{6}}(x
gerechnet.
Bin ein wenig verschnupft und hab nen dicken Kopf; also verzeih bitte mögliche Fehler ;o
Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 So 17.02.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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