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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:41 Fr 10.11.2006 | | Autor: | papillon |
| Aufgabe | Gegeben sei eine komplexe Funktion F(z, [mm] \overline{z}).
[/mm]
Zeigen Sie:
Aus [mm] \bruch{\partial}{\partial \overline{z}}f(z, \overline{z})=0 [/mm] folgt [mm] f'(z)=\bruch{\partial f}{\partial z} [/mm] |
Hallo!
Ich habe erst mal versucht, das ganze an einem Beispiel zu überprüfen:
Sei [mm] f(z,\overline{z})=z=x+iy.
[/mm]
Dann ist [mm] \bruch{\partial}{\partial \overline{z}}z=0
[/mm]
Nun weiß ich, dass die Cauchy-Riemann Gleichungen erfüllt sein müssen.
Nach obiger Aussage folgt: [mm] f'(z)=\bruch{\partial z}{\partial z}=1.
[/mm]
Schön soweit, aber wie kann ich denn nun obige Aussage beweisen?
Vielen Dank für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:19 Fr 10.11.2006 | | Autor: | ullim |
Hi,
die Definition für komplex differenzierbar in [mm] z_0 [/mm] ist, das f(z) die Darstellung
[mm] f(z)=f(z_0)+f^{'}(z_0)(z-z_0)+\epsilon|z-z_0| [/mm] besitzt.
und die Definition für reell differenzierbar in [mm] z_0 [/mm] ist, das f(z) die Darstellung
[mm] f(z)=f(z_0)+f_z(z_0)(z-z_0)+f_{\bar{z}}(z_0)(\bar{z}-\bar{z_0})+\epsilon|z-z_0| [/mm] besitzt.
Wenn [mm] f_{\bar{z}}=0 [/mm] gilt, folgt also aus der Definition der reelen Differenzierbarkeit das f(z) eine Darstellung der Form
[mm] f(z)=f(z_0)+f_z(z_0)(z-z_0)+\epsilon|z-z_0| [/mm] besitzt.
D.h. also, dass gilt [mm] f^{'}(z_0)=f_z(z_0)
[/mm]
mfg ullim
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