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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:56 Mo 18.02.2013 | | Autor: | Pia90 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie, in welchen Punkten die Abbildung
f: [mm] \IC \to \IC, [/mm] z [mm] \mapsto Re(z)^2 [/mm] - [mm] Im(z)^2 [/mm] + iz [mm] \overline{z}
[/mm]
komplex differenzierbar ist. Bestimmen Sie ggf. die Ableitung. Gibt es ein Gebiet G [mm] \subset \IC, [/mm] auf dem f holomorph ist? |
Hallo zusammen,
ich benötige bei meiner Klausurvorbereitung nochmals euren Rat!Und zwar geht es um die oben genannte Aufgabe.
Ich habe mir folgendes überlegt, bin mir aber vor allem bei der Ableitung und dem Schluss unsicher. Außerdem frage ich mich, ob die Aufgabe so komplett wäre, oder ob ich noch irgendetwas Wichtiges erwähnen sollte?
Wäre also klasse, wenn sich das jemand von euch angucken könnte und mir vielleicht noch den ein oder anderen Tipp geben würde :)
Zunächst einmal ist z=x+iy, also
f: [mm] \IC \to \IC, [/mm] z=x+iy [mm] \mapsto Re(x+iy)^2 [/mm] - Im [mm] (x+iy)^2 [/mm] + i(x+iy)(x-iy) = [mm] x^2 [/mm] - [mm] y^2 [/mm] + [mm] i(x^2+y^2)
[/mm]
Es ist f(x,y)=u(x,y) + i v(x,y) für alle x,y [mm] \in \IR [/mm] mit
u: [mm] \IC \to \IR, [/mm] u(x,y) = [mm] x^2 [/mm] - [mm] y^2 [/mm] , v: [mm] \IC \to \IR, [/mm] v(x,y) = [mm] x^2+y^2
[/mm]
u und v sind nach beiden Variablen partiell diffbar mit
[mm] u_x [/mm] (x,y)=2x, [mm] u_y [/mm] (x,y) = -2y, [mm] v_x [/mm] (x,y) = 2x, [mm] v_y [/mm] (x,y) = 2y für alle x,y [mm] \in \IR
[/mm]
Die partiellen Ableitungen sind offenbar stetig, so dass f überall reell diffbar ist.
Nun möchte ich die Cauchy-Riemann'schen Differentialgleichungen nutzen, denn danach gilt ja, wenn [mm] u_x [/mm] = [mm] v_y [/mm] und [mm] u_y [/mm] = - [mm] v_x, [/mm] dann ist f komplex diffbar.
[mm] u_x [/mm] = [mm] v_y \Rightarrow [/mm] x= y
[mm] u_y [/mm] = [mm] -v_x \Rightarrow [/mm] x=y
Nach den Cauchy Riemann'schen Differentialgleichungen ist nun also f komplex diffbar für x=y
So, jetzt beginnt der Teil, wo ich mir seeeehr sehr unsicher bin.
Also wenn ich jetzt sage, dass [mm] z_0 [/mm] bedeutet, dass x=y ist, dann ist [mm] f'(z_0)= u_x (z_0) [/mm] + i [mm] v_x (z_0) [/mm] = [mm] 2z_0 [/mm] + i 2 [mm] z_0
[/mm]
Ist das so korrekt?
Da f nun auf der Geraden x=y komplex diffbar ist, ist f nirgens holomorph [mm] \Rightarrow [/mm] Es gibt kein Gebiet G [mm] \subset \IC, [/mm] auf dem f holomorph ist.
Ich würde mich über eure Rückmeldungen sehr freuen! Vielen Dank schon mal und liebe Grüße!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:58 Mo 18.02.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
fast alles richtig bis auf
So, jetzt beginnt der Teil, wo ich mir seeeehr sehr unsicher bin.
Also wenn ich jetzt sage, dass $ [mm] z_0 [/mm] $ bedeutet, dass x=y ist, dann ist $ [mm] f'(z_0)= u_x (z_0) [/mm] $ + i $ [mm] v_x (z_0) [/mm] $ = $ [mm] 2z_0 [/mm] $ + i 2 $ [mm] z_0 [/mm] $
Da ein [mm] z_0 [/mm] einzuführen ist nicht gut, mit [mm] z_o [/mm] kannst du nur einen punkt bezeichnen. also schreib einfach für x=y bzw (Re(z)=Im(z)
[mm] f'(z)=u_x(x,x)+iv_x(x,x)=2x+2ix=2z
[/mm]
Gruss leduart
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