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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:05 Mi 25.08.2010 | | Autor: | gfm |
Hallo hier mal eine einfache Frage.
Ich habe letztens eine Form der [mm] $\IC$-Diff'barkeit [/mm] gesehen, die ich so noch nicht verwendet habe:
f ist [mm] $\IC$-diff'bar [/mm] in [mm] $z_0\gdw$
[/mm]
Es existiert eine in [mm] z_0 [/mm] stetige Funktion [mm] \phi [/mm] mit [mm] f(z)=f(z_0)+\phi(z)(z-z_0)
[/mm]
Das wird mit
[mm] $\phi(z):=\begin{cases} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0},&\mbox{ für }z\not=z_0\\f'(z_0),&\mbox{ für }z=z_0\end{cases}$
[/mm]
begründet.
Das kann man doch auch eins zu eins für reelle Diff'barkeit in einer Variablen übernehmen, oder? Gibt es was entsprechendes im n-dimensionalen Fall?
Interessant findet ich, dass in der Definition der übeliche Term, der in höherer Ordnung mit der Differenz verschwindet, nicht auftaucht.
LG
gfm
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:43 Mi 25.08.2010 | | Autor: | gfm |
> Hallo hier mal eine einfache Frage.
>
> Ich habe letztens eine Form der [mm]\IC[/mm]-Diff'barkeit gesehen,
> die ich so noch nicht verwendet habe:
>
> f ist [mm]\IC[/mm]-diff'bar in [mm]z_0\gdw[/mm]
>
> Es existiert eine in [mm]z_0[/mm] stetige Funktion [mm]\phi[/mm] mit
> [mm]f(z)=f(z_0)+\phi(z)(z-z_0)[/mm]
>
> Das wird mit
>
> [mm]\phi(z):=\begin{cases} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0},&\mbox{ für }z\not=z_0\\f'(z_0),&\mbox{ für }z=z_0\end{cases}[/mm]
>
> begründet.
>
> Das kann man doch auch eins zu eins für reelle
> Diff'barkeit in einer Variablen übernehmen, oder? Gibt es
> was entsprechendes im n-dimensionalen Fall?
Vielleicht für den Fall der in alle Richtungen existierenden Richtungsableitung von [mm] $f:\IR^n\to\IR$?
[/mm]
[mm] f(x)=f(x_0)+\phi(x)*||x-x_0||
[/mm]
mit
[mm]\phi(x):=\begin{cases} \frac{f(x)-f(x_0)}{||x-x_0||},&\mbox{ für }x\not=x_0\\\frac{d}{dt}f(x_0+t*(x-x_0))|_{t=0},&\mbox{ für }x=x_0\end{cases}[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:51 Mi 25.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Hallo hier mal eine einfache Frage.
> >
> > Ich habe letztens eine Form der [mm]\IC[/mm]-Diff'barkeit gesehen,
> > die ich so noch nicht verwendet habe:
> >
> > f ist [mm]\IC[/mm]-diff'bar in [mm]z_0\gdw[/mm]
> >
> > Es existiert eine in [mm]z_0[/mm] stetige Funktion [mm]\phi[/mm] mit
> > [mm]f(z)=f(z_0)+\phi(z)(z-z_0)[/mm]
> >
> > Das wird mit
> >
> > [mm]\phi(z):=\begin{cases} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0},&\mbox{ für }z\not=z_0\\
f'(z_0),&\mbox{ für }z=z_0\end{cases}[/mm]
>
> >
> > begründet.
> >
> > Das kann man doch auch eins zu eins für reelle
> > Diff'barkeit in einer Variablen übernehmen, oder? Gibt es
> > was entsprechendes im n-dimensionalen Fall?
>
> Vielleicht für den Fall der in alle Richtungen
> existierenden Richtungsableitung von [mm]f:\IR^n\to\IR[/mm]?
>
> [mm]f(x)=f(x_0)+\phi(x)*||x-x_0||[/mm]
>
> mit
>
> [mm]\phi(x):=\begin{cases} \frac{f(x)-f(x_0)}{||x-x_0||},&\mbox{ für }x\not=x_0\\
\frac{d}{dt}f(x_0+t*(x-x_0))|_{t=0},&\mbox{ für }x=x_0\end{cases}[/mm]
Die Frage ist: was soll [mm] $\frac{d}{dt} f(x_0 [/mm] + t [mm] \cdot [/mm] (x - [mm] x_0))|_{t = 0}$ [/mm] sein, wenn $x = [mm] x_0$ [/mm] ist? Das ist dann doch einfach gleich 0, da $x - [mm] x_0 [/mm] = 0$ ist und die Funktion die abgeleitet wird somit gar nicht von $t$ abhaengt.
Du kannst [mm] $\phi$ [/mm] zwar so definieren, aber ich vermute im allgemeinen ist es nichtmals stetig in [mm] $x_0$ [/mm] fortsetzbar, auch wenn $f$ total differenzierbar ist.
Beispiel: $f(y, z) = y + z$, [mm] $x_0 [/mm] = (0, 0)$. Dann ist [mm] $\frac{f(x) - f(x_0)}{\|x - x_0\|} [/mm] = [mm] \frac{y + z}{\sqrt{y^2 + z^2}}$. [/mm] Schau dir jetzt $x = (y, z) = (r [mm] \cos \phi, [/mm] r [mm] \sin \phi)$ [/mm] an, dann steht da [mm] $\frac{f(x) - f(x_0)}{\|x - x_0\|} [/mm] = [mm] \cos \phi [/mm] + [mm] \sin \phi$. [/mm] Mit $r [mm] \to [/mm] 0$ konvergiert das nicht gegen einen Wert unabhaengig von [mm] $\phi$. [/mm] Damit ist [mm] $\frac{f(x) - f(x_0)}{\|x - x_0\|}$ [/mm] in [mm] $x_0$ [/mm] nicht stetig fortsetzbar!
LG Felix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:00 Mi 25.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hallo hier mal eine einfache Frage.
>
> Ich habe letztens eine Form der [mm]\IC[/mm]-Diff'barkeit gesehen,
> die ich so noch nicht verwendet habe:
>
> f ist [mm]\IC[/mm]-diff'bar in [mm]z_0\gdw[/mm]
>
> Es existiert eine in [mm]z_0[/mm] stetige Funktion [mm]\phi[/mm] mit
> [mm]f(z)=f(z_0)+\phi(z)(z-z_0)[/mm]
>
> Das wird mit
>
> [mm]\phi(z):=\begin{cases} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0},&\mbox{ für }z\not=z_0\\f'(z_0),&\mbox{ für }z=z_0\end{cases}[/mm]
>
> begründet.
>
> Das kann man doch auch eins zu eins für reelle
> Diff'barkeit in einer Variablen übernehmen, oder?
Ja.
> Gibt es was entsprechendes im n-dimensionalen Fall?
Ein Analogon waere:
Sei $f : [mm] \IR^n \to \IR^m$. [/mm] Dann heisst $f$ in [mm] $z_0 \in \IR^n$ [/mm] differenzierbar, wenn es eine in [mm] $z_0$ [/mm] stetige Funktion [mm] $\phi [/mm] : [mm] \IR^n \to \IR^{m \times n}$ [/mm] gibt mit $f(z) = [mm] f(z_0) [/mm] + [mm] \phi(z) [/mm] (z - [mm] z_0)$.
[/mm]
Und [mm] $\phi(z_0)$ [/mm] ist dann die Ableitung von $f$ in [mm] $z_0$, [/mm] also die Jacobimatrix. Der Unterschied ist, dass [mm] $\phi$ [/mm] ausserhalb von [mm] $z_0$ [/mm] nicht eindeutig ist! Schliesslich gibt es sehr viele Matrizen $A$ mit $A (z - [mm] z_0) [/mm] = f(z) - [mm] f(z_0)$ [/mm] fuer ein festes $z [mm] \neq z_0$. [/mm] Und selbst, wenn $f$ auf ganz [mm] $\IR^n$ [/mm] differenzierbar ist, muss es noch lange nicht heissen dass sich [mm] $\phi$ [/mm] ausserhalb von [mm] $z_0$ [/mm] auf irgendeine Weise schoen verhaelt; es kann dort hochgradig unstetig sein. Es muss nur in [mm] $z_0$ [/mm] stetig sein.
Weiterhin kann man, wenn $f$ als differenzierbar vorausgesetzt ist, nicht irgendein [mm] $\phi$ [/mm] nehmen mit $f(z) = [mm] f(z_0) [/mm] + [mm] \phi(z) [/mm] (z - [mm] z_0)$ [/mm] und darauf hoffen, dass [mm] $\phi$ [/mm] in [mm] $z_0$ [/mm] stetig ist. Das muss es naemlich nicht sein. Wenn $f$ diffbar in [mm] $z_0$ [/mm] ist, gibt es doch unendlich viele Moeglichkeiten, [mm] $\phi$ [/mm] so zu waehlen, dass es in [mm] $z_0$ [/mm] stetig ist.
Ein eindeutiges [mm] $\phi$, [/mm] welches automatisch in [mm] $z_0$ [/mm] stetig ist, hat man nur, wenn $n = 1$ ist. Deswegen verwendet man das wohl auch nur dann :)
> Interessant findet ich, dass in der Definition der
> übeliche Term, der in höherer Ordnung mit der Differenz
> verschwindet, nicht auftaucht.
Der wird einfach mit in [mm] $\phi$ [/mm] hineingepackt.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 Mi 25.08.2010 | | Autor: | gfm |
Vielen Dank.
Ich habe noch eine Frage, und zwar zum Beweis von CR mittels Vergleich von relller und komplexer Diff'barkeit in Verbindung mit [mm] $\IC$-Linearität. [/mm] Muss ich das so verstehen:
Aus der Def. der kompl. Diff'barkeit über die Existenz der Grenzwertes des kompl. Differenzenquotienten folgt [mm] $f(z)=f(z_0)+f'(z_0)*(z-z_0)+r(z,z_0)$ [/mm] wobei $r$ für [mm] $z\to z_0$ [/mm] schneller verschwindet, als [mm] $z-z_0$ [/mm] selber. Man kann diese Gleichung im [mm] \IR^2 [/mm] mit einem linearen A schreiben.
[mm] $\vektor{u(x,y) \\ v(x,y)}=\vektor{u(x_0,y_0) \\ v(x_0,y_0)}+A\left(\vektor{x-x_0 \\ y-y_0}\right)+\vektor{r_x \\ r_y}
[/mm]
So erkennt man, dass f als [mm] $\IR^2$-wertige [/mm] Funktion auf dem [mm] \IR^2 [/mm] total reell diff'bar sein muss und die Darstellung von A die Jacobimatrix ist. Da A aber seinen Ursprung in [mm] f'(z_0)*(z-z_0) [/mm] hat, muss es darüber hinaus von der Form
[mm] \pmat{ a & b \\ -b & a }
[/mm]
sein, woraus die CR-Formeln folgen.
Richtig?
LG
gfm
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:31 Mi 25.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin gfm!
> Ich habe noch eine Frage, und zwar zum Beweis von CR
> mittels Vergleich von relller und komplexer Diff'barkeit in
> Verbindung mit [mm]\IC[/mm]-Linearität. Muss ich das so verstehen:
>
> Aus der Def. der kompl. Diff'barkeit über die Existenz der
> Grenzwertes des kompl. Differenzenquotienten folgt
> [mm]f(z)=f(z_0)+f'(z_0)*(z-z_0)+r(z,z_0)[/mm] wobei [mm]r[/mm] für [mm]z\to z_0[/mm]
> schneller verschwindet, als [mm]z-z_0[/mm] selber. Man kann diese
> Gleichung im [mm]\IR^2[/mm] mit einem linearen A schreiben.
>
> [mm]$\vektor{u(x,y) \\
v(x,y)}=\vektor{u(x_0,y_0) \\
v(x_0,y_0)}+A\left(\vektor{x-x_0 \\
y-y_0}\right)+\vektor{r_x \\
r_y}[/mm]
>
> So erkennt man, dass f als [mm]\IR^2[/mm]-wertige Funktion auf dem
> [mm]\IR^2[/mm] total reell diff'bar sein muss und die Darstellung
> von A die Jacobimatrix ist. Da A aber seinen Ursprung in
> [mm]f'(z_0)*(z-z_0)[/mm] hat, muss es darüber hinaus von der Form
>
> [mm]\pmat{ a & b \\
-b & a }[/mm]
Genau. Diese Matrix ist die Matrix der [mm] $\IR$-linearen [/mm] Abbildung [mm] $\IC \to \IC$, [/mm] $x [mm] \mapsto [/mm] (a + i b) x$ bzgl. der Basis $1, i$.
> sein, woraus die CR-Formeln folgen.
>
> Richtig?
Ja :)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:38 Sa 28.08.2010 | | Autor: | gfm |
Danke
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