Komplemente (direkteSummanden) < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:38 Mo 29.08.2011 | | Autor: | phychem |
Hallo
In einem Vorlesungsskript steht, dass man für jeden Untervektorraum einen direkten Summanden findet. Im endlichdimensionalen Fall lässt sich dies ja relativ einfach mit Basisergänzungssatz erklären. Nun zu meiner Frage:
Wie sieht es im unendlichdimensionalen Fall aus? In den meisten Unterlagen, die ich gefunden habe, wird der unendlichdimensionale Fall gleich wie der endlichdimensionale Fall behandelt, aber auf wikipedia hab ich folgende Aussage gefunden:
"Ist der Banachraum V unendlichdimensional, so existiert nicht zu jedem Untervektorraum ein komplementärer Vektorraum. Der Folgenraum [mm] c_{0} [/mm] der Nullfolgen ist ein Untervektorraum des Folgenraums [mm] l_{2} [/mm] der quadratsummierbaren Folgen. Zu [mm] c_{0} [/mm] gibt es allerdings in [mm] l_{2} [/mm] keinen komplementären Vektorraum."
Hier stellen sich mir zwei Fragen:
1. Warum sollte [mm] c_{0} [/mm] ein Untervektorraum von [mm] l_{2} [/mm] sein? Es ist doch genau umgekehrt: [mm] l_{2} [/mm] ist ein Untervektorraum von [mm] c_{0}.
[/mm]
2. Woran erkennt man, dass zu [mm] c_{0} [/mm] kein direkter Summand in [mm] l_{2} [/mm] existiert? Kann man nicht einfach jede Basis eines Untervektorraumes zu einer Basis des Obervektorraumes ergänzen - so dass die "neuen" Basisvektoren eine Basis des Komplements bilden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:47 Mo 29.08.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> In einem Vorlesungsskript steht, dass man für jeden
> Untervektorraum einen direkten Summanden findet. Im
> endlichdimensionalen Fall lässt sich dies ja relativ
> einfach mit Basisergänzungssatz erklären. Nun zu meiner
> Frage:
>
> Wie sieht es im unendlichdimensionalen Fall aus? In den
> meisten Unterlagen, die ich gefunden habe, wird der
> unendlichdimensionale Fall gleich wie der
> endlichdimensionale Fall behandelt,
Wenn man an's Auswahlaxiom glaubt (was die meisten tun), dann stimmt das auch.
Wenn man das Auswahlaxiom nicht hat, hat man auch keinen Basisergaenzungssatz im Unendlichdimensionalen.
> aber auf wikipedia hab
> ich folgende Aussage gefunden:
>
> "Ist der Banachraum V unendlichdimensional, so existiert
> nicht zu jedem Untervektorraum ein komplementärer
> Vektorraum. Der Folgenraum [mm]c_{0}[/mm] der Nullfolgen ist ein
> Untervektorraum des Folgenraums [mm]l_{2}[/mm] der
> quadratsummierbaren Folgen. Zu [mm]c_{0}[/mm] gibt es allerdings in
> [mm]l_{2}[/mm] keinen komplementären Vektorraum."
>
> Hier stellen sich mir zwei Fragen:
>
> 1. Warum sollte [mm]c_{0}[/mm] ein Untervektorraum von [mm]l_{2}[/mm] sein?
> Es ist doch genau umgekehrt: [mm]l_{2}[/mm] ist ein Untervektorraum
> von [mm]c_{0}.[/mm]
Da hast du Recht. Die Aussage bei Wikipedia ist falsch.
> 2. Woran erkennt man, dass zu [mm]c_{0}[/mm] kein direkter Summand
> in [mm]l_{2}[/mm] existiert? Kann man nicht einfach jede Basis eines
> Untervektorraumes zu einer Basis des Obervektorraumes
> ergänzen - so dass die "neuen" Basisvektoren eine Basis
> des Komplements bilden?
Ich vermute mal, hier war [mm] $\ell^2 \subseteq c_0$ [/mm] gemeint, also dass [mm] $\ell^2$ [/mm] in [mm] $c_0$ [/mm] kein direktes Komplement hat. Und es ist auch nicht das "normale" direkte Komplement gemeint, sondern vermutlich etwas topologisches (evtl. gibt es kein Komplement, das abgeschlossen ist), oder es geht um orthogonale Komplemente.
Vielleicht weiss jemand noch, wie es in diesem Fall wirklich ist, deswegen stelle ich die Frage nur auf "teilweise beantwortet".
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:25 Mi 31.08.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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