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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:31 Sa 31.10.2015 | | Autor: | James90 |
Hi!
Ich will zeigen: [mm] 1-P(A|B)=P(A^c|B) [/mm] mit [mm] $A,B\in [/mm] F$ (F Sigma-Algebra über [mm] \Omega) [/mm] mit P(B)>0.
[mm] 1-P(A|B)=P(A^c|B)
[/mm]
[mm] \gdw P(B)=P(A^c\cap B)+P(A\cap [/mm] B)
[mm] \gdw P(B)=P((A^c\cap B)\cup(A\cap [/mm] B)) [mm] ((A^c\cap [/mm] B) und [mm] (A\cap [/mm] B) sind disjunkt)
[mm] \gdw P(B)=P(B\cap(A^c\cup [/mm] A))
[mm] \gdw [/mm] P(B)=P(B)
[mm] \gdw [/mm] 1=1
Ist das richtig? Geht das besser?
Danke!
LG, James
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Hallo,
> Hi!
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> Ich will zeigen: [mm]1-P(A|B)=P(A^c|B)[/mm] mit [mm]A,B\in F[/mm] (F
> Sigma-Algebra über [mm]\Omega)[/mm] mit P(B)>0.
>
> [mm]1-P(A|B)=P(A^c|B)[/mm]
> [mm]\gdw P(B)=P(A^c\cap B)+P(A\cap[/mm] B)
> [mm]\gdw P(B)=P((A^c\cap B)\cup(A\cap[/mm] B)) [mm]((A^c\cap[/mm] B) und
> [mm](A\cap[/mm] B) sind disjunkt)
> [mm]\gdw P(B)=P(B\cap(A^c\cup[/mm] A))
> [mm]\gdw[/mm] P(B)=P(B)
> [mm]\gdw[/mm] 1=1
>
> Ist das richtig? Geht das besser?
DAs sieht sehr gut aus ...
Inwiefern soll das "besser" werden?
Vll. begründest du noch kurz die Disjunktheit oben, aber sonst ist das doch super ...
> Danke!
> LG, James
>
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Mo 02.11.2015 | | Autor: | James90 |
> > Ich will zeigen: [mm]1-P(A|B)=P(A^c|B)[/mm] mit [mm]A,B\in F[/mm] (F
> > Sigma-Algebra über [mm]\Omega)[/mm] mit P(B)>0.
> >
> > [mm]1-P(A|B)=P(A^c|B)[/mm]
> > [mm]\gdw P(B)=P(A^c\cap B)+P(A\cap[/mm] B)
> > [mm]\gdw P(B)=P((A^c\cap B)\cup(A\cap[/mm] B)) [mm]((A^c\cap[/mm] B) und
> > [mm](A\cap[/mm] B) sind disjunkt)
> > [mm]\gdw P(B)=P(B\cap(A^c\cup[/mm] A))
> > [mm]\gdw[/mm] P(B)=P(B)
> > [mm]\gdw[/mm] 1=1
> >
> > Ist das richtig? Geht das besser?
>
> DAs sieht sehr gut aus ...
>
> Inwiefern soll das "besser" werden?
Ich hab mir überlegt anzunehmen, dass die Aussage falsch ist. Dann folgt am Ende [mm] P(B)\not=P(B), [/mm] also [mm] 1\not=1. [/mm] Also ist die Annahme falsch, also die Behauptung richtig.
Ansonsten benötige ich doch eigentlich nur die Rückrichtung. Logisch könnte ich doch einfach aus der wahren Aussage 1=1 die Aussage folgern.
> Vll. begründest du noch kurz die Disjunktheit oben, aber
> sonst ist das doch super ...
Zu zeigen: die Mengen [mm] $(A^c\cap [/mm] B)$ und [mm] $(A\cap [/mm] B)$ sind disjunkt, also zu zeigen: [mm] $(A^c\cap B)\cap $(A\cap B)=\emptyset$
[/mm]
Schnitt ist kommutivativ also [mm] $(A^c\cap B)\cap (A\cap B)=A^c\cap A\cap B\cap [/mm] B$
Offensichtlich: [mm] $A\in F\subseteq P(\Omega)$, [/mm] also [mm] A\subseteq\Omega. [/mm] Also [mm] $A^c\cap A=\Omega\setminus A\cap A=\emptyset$
[/mm]
Also [mm] A^c\cap A\cap B\cap B=\emptyset
[/mm]
Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:24 Di 03.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> > > Ich will zeigen: [mm]1-P(A|B)=P(A^c|B)[/mm] mit [mm]A,B\in F[/mm] (F
> > > Sigma-Algebra über [mm]\Omega)[/mm] mit P(B)>0.
> > >
> > > [mm]1-P(A|B)=P(A^c|B)[/mm]
> > > [mm]\gdw P(B)=P(A^c\cap B)+P(A\cap[/mm] B)
> > > [mm]\gdw P(B)=P((A^c\cap B)\cup(A\cap[/mm] B)) [mm]((A^c\cap[/mm] B)
> und
> > > [mm](A\cap[/mm] B) sind disjunkt)
> > > [mm]\gdw P(B)=P(B\cap(A^c\cup[/mm] A))
> > > [mm]\gdw[/mm] P(B)=P(B)
> > > [mm]\gdw[/mm] 1=1
> > >
> > > Ist das richtig? Geht das besser?
> >
> > DAs sieht sehr gut aus ...
> >
> > Inwiefern soll das "besser" werden?
>
> Ich hab mir überlegt anzunehmen, dass die Aussage falsch
> ist. Dann folgt am Ende [mm]P(B)\not=P(B),[/mm] also [mm]1\not=1.[/mm] Also
> ist die Annahme falsch, also die Behauptung richtig.
>
> Ansonsten benötige ich doch eigentlich nur die
> Rückrichtung. Logisch könnte ich doch einfach aus der
> wahren Aussage 1=1 die Aussage folgern.
>
> > Vll. begründest du noch kurz die Disjunktheit oben, aber
> > sonst ist das doch super ...
>
> Zu zeigen: die Mengen [mm]$(A^c\cap[/mm] B)$ und [mm]$(A\cap[/mm] B)$ sind
> disjunkt, also zu zeigen: [mm]$(A^c\cap B)\cap $(A\cap B)=\emptyset$[/mm]
>
> Schnitt ist kommutivativ also [mm](A^c\cap B)\cap (A\cap B)=A^c\cap A\cap B\cap B[/mm]
>
> Offensichtlich: [mm]A\in F\subseteq P(\Omega)[/mm], also
> [mm]A\subseteq\Omega.[/mm] Also [mm]A^c\cap A=\Omega\setminus A\cap A=\emptyset[/mm]
>
> Also [mm]A^c\cap A\cap B\cap B=\emptyset[/mm]
Richtig
FRED
>
>
> Danke!
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:27 Di 03.11.2015 | | Autor: | James90 |
Vielen Dank!
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