Kompaktheit im C[a,b] < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:04 Do 16.02.2012 | | Autor: | sinalco |
| Aufgabe | | Der Raum der stetigen Funktionen im Intervall [a,b] sei mit C[a,b] abgekürzt. Wann gilt Kompaktheit für eine Teilmenge im C[a,b]? |
Also kurz zu meinem Wissensstand:
- C[a,b] ist ein Banachraum, d.h. vollständig mit der Maximumsnorm.
Nach dem Satz von Arzela-Ascoli besitzt eine Folge von Funktionen [mm] (f_n) [/mm] eine konvergente Teilfolge, wenn sie gleichmäßig beschränkt und gleichgradig stetig (gleichmäßig stetig bzgl. aller n [mm] \in \IN) [/mm] sind.
Mein eigentliches Problem ist, dass ich keine Ahnung von topologischen Räumen habe und ich sonst kaum Kriterien für Kompaktheit auf unendlichdimensionalen Vektorräumen finde.
dies habe ich gefunden (weiß aber nicht ob es auf einem unendlichdimensionalen Vektorraum gilt) - wäre aber ideal:
Menge M heißt Folgenkompakt, wenn jede Folge aus M eine konvergente Teilfolge mit Limes in M besitzt. (dies wäre genau die Aussage des Satzes von Arzela Ascoli und mein Problem gelöst)
Was ist eure Meinung dazu?
Danke
Sinalco
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:16 Do 16.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Der Raum der stetigen Funktionen im Intervall [a,b] sei mit
> C[a,b] abgekürzt. Wann gilt Kompaktheit für eine
> Teilmenge im C[a,b]?
> Also kurz zu meinem Wissensstand:
>
> - C[a,b] ist ein Banachraum, d.h. vollständig mit der
> Maximumsnorm.
>
> Nach dem Satz von Arzela-Ascoli besitzt eine Folge von
> Funktionen [mm](f_n)[/mm] eine konvergente Teilfolge, wenn sie
> gleichmäßig beschränkt und gleichgradig stetig
> (gleichmäßig stetig bzgl. aller n [mm]\in \IN)[/mm] sind.
>
> Mein eigentliches Problem ist, dass ich keine Ahnung von
> topologischen Räumen habe und ich sonst kaum Kriterien
> für Kompaktheit auf unendlichdimensionalen Vektorräumen
> finde.
>
> dies habe ich gefunden (weiß aber nicht ob es auf einem
> unendlichdimensionalen Vektorraum gilt) - wäre aber ideal:
>
> Menge M heißt Folgenkompakt, wenn jede Folge aus M eine
> konvergente Teilfolge mit Limes in M besitzt. (dies wäre
> genau die Aussage des Satzes von Arzela Ascoli und mein
> Problem gelöst)
>
>
Ist X ein metrischer Raum, so gilt für eine Teilmenge M von X:
M ist kompakt [mm] \gdw [/mm] M ist folgenkompakt.
Ist [mm] ||*||_{\infty} [/mm] die Maximumsnorm auf C[a,b], so wird durch
$d(f,g): = [mm] ||f-g||_{\infty}$
[/mm]
eine Metrik auf C[a,b] definiert.
Ist M eine Teilmenge von C[a,b], so gilt also:
M ist kompakt
[mm] \gdw [/mm]
zu jeder Folge [mm] (f_n) [/mm] in M gibt es eine Teilfolge [mm] (f_{n_k}) [/mm] von [mm] (f_n) [/mm] und ein f [mm] \in [/mm] M mit:
[mm] ||f_{n_k}-f||_{\infty} \to [/mm] 0 (k [mm] \to \infty)
[/mm]
[mm] \gdw [/mm]
zu jeder Folge [mm] (f_n) [/mm] in M gibt es eine Teilfolge [mm] (f_{n_k}) [/mm] von [mm] (f_n) [/mm] und ein f [mm] \in [/mm] M mit:
[mm] (f_{n_k}) [/mm] konv. auf [a,b] gleichmäßig gegen f.
FRED
>
> Danke
> Sinalco
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:21 Do 16.02.2012 | | Autor: | sinalco |
Also wie ich gedacht hatte ... aus einem vollständig normierten Raum folgt ein metrischer Raum! ... Norm induziert Metrik ...
Vielen Dank für die schnelle Antwort!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:26 Do 16.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Also wie ich gedacht hatte ... aus einem vollständig
> normierten Raum folgt ein metrischer Raum! ... Norm
> induziert Metrik ...
Vollständigkeit braucht man nicht. Jeder normierte Raum ist ein metrischer.
FRED
>
> Vielen Dank für die schnelle Antwort!!!
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