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Hallo!
Ich versuche gerade, den Beweis für die Äquivalenz von Überdeckungskompaktheit und Folgenkompaktheit in metrischen Räumen zu verstehen. Bei der Richtung Überdeckungskompaktheit ==> Folgenkompaktheit
geht es so:
Sei (M, d) ein metrischer Raum und K eine übedeckungskompakte Teilmenge von M. Wir nehmen an, es gäbe eine Folge [mm] (x_{n}) [/mm] in K, die keinen Häufungspunkt in K besitzt. Dann gibt es zu jedem Punkt x aus K ein r > 0, so dass die offene Kugel U(x, r) nur endlich viele [mm] x_{n} [/mm] enthält.
Wie kommt man darauf, dass es nur endlich viele sein können? Klar ist, dass kein x aus K Häufungspunkt ist. Häfungspunkt würde bedeuten, dass für alle r > 0 in jeder offenen Kugel U(x, r) unendlich viele [mm] x_{n} [/mm] liegen. Bildet man die Negation dieser Aussage, dann hieße das doch: es gibt ein r > 0, so dass in U(x, r) nicht unendlich viele Folgenglieder [mm] x_{n} [/mm] liegen. Bedeutet "nicht unendlich" zwansgsläufig endlich?? Kann man das noch irgendwie anders zeigen?
Kann mir da jemand helfen?
Viele Grüße,
Christoph
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Moin,
> Ich versuche gerade, den Beweis für die Äquivalenz von
> Überdeckungskompaktheit und Folgenkompaktheit in
> metrischen Räumen zu verstehen. Bei der Richtung
> Überdeckungskompaktheit ==> Folgenkompaktheit
> geht es so:
>
> Sei (M, d) ein metrischer Raum und K eine
> übedeckungskompakte Teilmenge von M. Wir nehmen an, es
> gäbe eine Folge [mm](x_{n})[/mm] in K, die keinen Häufungspunkt in
> K besitzt. Dann gibt es zu jedem Punkt x aus K ein r > 0,
> so dass die offene Kugel U(x, r) nur endlich viele [mm]x_{n}[/mm]
> enthält.
>
> Wie kommt man darauf, dass es nur endlich viele sein
> können? Klar ist, dass kein x aus K Häufungspunkt ist.
> Häfungspunkt würde bedeuten, dass für alle r > 0 in
> jeder offenen Kugel U(x, r) unendlich viele [mm]x_{n}[/mm] liegen.
> Bildet man die Negation dieser Aussage, dann hieße das
> doch: es gibt ein r > 0, so dass in U(x, r) nicht unendlich
> viele Folgenglieder [mm]x_{n}[/mm] liegen. Bedeutet "nicht
> unendlich" zwansgsläufig endlich??
Ja, was sollte es denn sonst bedeuten?
"Endlich" ist eben das Antonym von "unendlich". 
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:26 Di 05.06.2012 | | Autor: | Peter_Pan2 |
Hallo, danke erstmal für die schnelle Antwort =)
Der Grund warum ich ins Nachdenken kam war, dass ich auf einem alten Übungsblatt von Analysis 1 die Aufgabe fand, dass folgendes zu beweisen war:
"Eine Menge ist genau dann unendlich, wenn sie nicht endlich ist."
Als Hinweis war dort gegeben: "zu <==: man kann die gesuchte injektive Funktion f: [mm] \IN \to [/mm] M rekursiv konstruieren."
VG,
Christoph
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Hallo, danke erstmal für die schnelle Antwort =)
Der Grund warum ich ins Nachdenken kam war, dass ich auf einem alten Übungsblatt von Analysis 1 die Aufgabe fand, dass folgendes zu beweisen war:
"Eine Menge ist genau dann unendlich, wenn sie nicht endlich ist."
Als Hinweis war dort gegeben: "zu <==: man kann die gesuchte injektive Funktion [mm] f:\IN \to [/mm] M rekursiv konstruieren."
VG,
Christoph
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> Hallo, danke erstmal für die schnelle Antwort =)
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> Der Grund warum ich ins Nachdenken kam war, dass ich auf
> einem alten Übungsblatt von Analysis 1 die Aufgabe fand,
> dass folgendes zu beweisen war:
>
> "Eine Menge ist genau dann unendlich, wenn sie nicht endlich ist."
Das ist doch genau die Aussage, deswegen verstehe ich ehrlich gesagt nicht so recht wo das Problem ist.
In der Tat war das aber eine eigenartige Übungsaufgabe, nimmt man die Aussage doch ohne Weiteres alles selbstverständlich an.
LG
>
> Als Hinweis war dort gegeben: "zu <==: man kann die
> gesuchte injektive Funktion [mm]f:\IN \to[/mm] M rekursiv
> konstruieren."
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> VG,
>
> Christoph
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