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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:31 Do 07.08.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Abend!
Ich habe hier einen Satz, den ich so eigentlich nachvollziehen kann, aber beim Beweis einige Probleme habe.
Satz :
Sei X ein metrischer Raum. Äquivalent sind:
a) X ist kompakt
b) Jede Folge in X besitzt einen Häufungspunkt.
c) X ist vollständig ( d.h jede Cauchy - Folge konvergiert in X ) und für jedes
[mm] \epsilon > 0 [/mm] eistiert [mm] x_1, ... , x_n \in X [/mm] mit
[mm] X = \bigcup_{k=1}^n B_{ \epsilon } ( x_k ) [/mm].
Beweis :
( Beim Beweis habe ich nur Probleme bei der Richtung a) [mm] \Rightarrow [/mm] b) )
a) [mm] \Rightarrow [/mm] b):
Sei X kompakt , [mm] (x_n) [/mm] sei eine Folge in X.
Sei [mm] F_n [/mm] der Abschluss der Menge [mm] \{ x_n, x_{n+1}, ... \} [/mm] in X.
Zeige, dass [mm] \bigcap_n F_n \ne \emptyset [/mm].
( Die Menge [mm] \bigcap_n F_n \ne \emptyset [/mm] besteht aus den Häufungspunkten von [mm] (x_n ) [/mm] ).
Sei [mm] A_n := X \setminus F_n [/mm].
Dann ist [mm] A_n [/mm] offen in X und [mm] \bigcup_n A_n = X [/mm] , weil [mm] \bigcap_n F_n = \emptyset [/mm]
( Dies verstehe ich nicht. Warum ist auf einmal [mm] \bigcap_n F_n = \emptyset [/mm] ? ).
Da X kompakt ist, gibt es [mm] n_1, ..., n_k \in \mathbb N [/mm] mit
[mm] X = \bigcup_{j=1}^{k} A_{nj} \Rightarrow \ \bigcap_{j=1}^{k} F_{nj} = \emptyset [/mm] .
Sei [mm] n_0 := \max \{n_1, ... , n_k \}.[/mm]
( Ab hier verstehe ich nichts mehr.... )
Dann ist [mm] F_{nj} \supseteq F_{n0} \ \forall j = 1, ... , k [/mm]
Deswegen ist [mm] F_{n0} = \emptyset [/mm] und dies ist eine Widerspruch....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:02 Fr 08.08.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Guten Abend!
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> Ich habe hier einen Satz, den ich so eigentlich
> nachvollziehen kann, aber beim Beweis einige Probleme
> habe.
>
> Satz :
>
> Sei X ein metrischer Raum. Äquivalent sind:
>
> a) X ist kompakt
>
> b) Jede Folge in X besitzt einen Häufungspunkt.
>
> c) X ist vollständig ( d.h jede Cauchy - Folge konvergiert
> in X ) und für jedes
> [mm]\epsilon > 0[/mm] eistiert [mm]x_1, ... , x_n \in X[/mm] mit
> [mm]X = \bigcup_{k=1}^n B_{ \epsilon } ( x_k ) [/mm].
>
>
> Beweis :
>
> ( Beim Beweis habe ich nur Probleme bei der Richtung a)
> [mm]\Rightarrow[/mm] b) )
>
> a) [mm]\Rightarrow[/mm] b):
>
> Sei X kompakt , [mm](x_n)[/mm] sei eine Folge in X.
> Sei [mm]F_n[/mm] der Abschluss der Menge [mm]\{ x_n, x_{n+1}, ... \}[/mm] in
> X.
> Zeige, dass [mm]\bigcap_n F_n \ne \emptyset [/mm].
> ( Die Menge
> [mm]\bigcap_n F_n \ne \emptyset[/mm] besteht aus den
> Häufungspunkten von [mm](x_n )[/mm] ).
>
> Sei [mm]A_n := X \setminus F_n [/mm].
> Dann ist [mm]A_n[/mm] offen in X und
> [mm]\bigcup_n A_n = X[/mm] , weil [mm]\bigcap_n F_n = \emptyset[/mm]
>
> ( Dies verstehe ich nicht. Warum ist auf einmal [mm]\bigcap_n F_n = \emptyset[/mm]
> ? ).
>
Es wurde wohl vergessen zu erwähnen, dass ein Widerspruchsbeweis geführt wird. Angenommen es sei [mm]\bigcap_n F_n = \emptyset[/mm].
> Da X kompakt ist, gibt es [mm]n_1, ..., n_k \in \mathbb N[/mm] mit
> [mm]X = \bigcup_{j=1}^{k} A_{nj} \Rightarrow \ \bigcap_{j=1}^{k} F_{nj} = \emptyset[/mm]
> .
> Sei [mm]n_0 := \max \{n_1, ... , n_k \}.[/mm]
>
> ( Ab hier verstehe ich nichts mehr.... )
>
> Dann ist [mm]F_{nj} \supseteq F_{n0} \ \forall j = 1, ... , k[/mm]
Dies gilt wegen der Definition der [mm] F_n.
[/mm]
>
> Deswegen ist [mm]F_{n0} = \emptyset[/mm] und dies ist eine
> Widerspruch....
Das gilt wegen [mm] \bigcap_{j=1}^{k} F_{nj} = \emptyset[/mm] und Obigem.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:15 Fr 08.08.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
Oh jetzt versteh ich das natürlich.... Klar...
Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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