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Hallo MatheRaum
Frage1: Entscheiden Sie, ob die folgenden Mengen kompakt sind oder nicht, und beweisen Sie dies direkt (ohne Verwendung von folgendem Satz):
Satz: Sei $ M [mm] \subset [/mm] X $ kompakt. Dann gilt:
(1) M beschränkt, d.h. $ [mm] \exists [/mm] R>0 , M [mm] \subset [/mm] B(0,R) $
(2) M abgeschlossen
(3) Eine Teilmenge $ M [mm] \subset K^m [/mm] $ ist kompakt $ [mm] \gdw [/mm] $ M beschränkt und abgeschlossen
Frage1 a) Die Menge der natürlichen Zahlen $ [mm] \IN \subset \IR. [/mm] $
b) Die Menge $ M= (0,1) [mm] \subset \IR. [/mm] $
c) Die Menge $ K:= [mm] \{a\} \cup \{x_k: k\in \IN\} \subset [/mm] X $ mit $ [mm] \{x_k\} [/mm] $ eine konvergente Folge im normierten Raum X mit Grenzwert a.
Könnte mir jemand helfen?
Besten Dank im Voraus
Sauerstoff
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:09 Do 27.01.2005 | | Autor: | SEcki |
> Frage1: Entscheiden Sie, ob die folgenden Mengen kompakt
> sind oder nicht, und beweisen Sie dies direkt (ohne
> Verwendung von folgendem Satz):
Und wie habt ihr kompakt dann definiert? Heine-Botrelsche-Überdeckungseigenschaft?
> Frage1 a) Die Menge der natürlichen Zahlen [mm]\IN \subset \IR.[/mm]
Finde mal eine Überdeckung, aus der man keine endliche auswählen kann - das ist sehr einfach ...
> b) Die Menge [mm]M= (0,1) \subset \IR.[/mm]
Hier mal von inne mit geigeneten Intervallen ausschöüfen - zB mit Hilfe der Nullfolge 1/n .
> c) Die Menge [mm]K:= \{a\} \cup \{x_k: k\in \IN\} \subset X[/mm]
> mit [mm]\{x_k\}[/mm] eine konvergente Folge im normierten Raum X
> mit Grenzwert a.
Überdecke das mal - was folgt aus der Überdeckung von A?
SEcki
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