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Kompakter Topologischer Raum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:34 Do 04.05.2006
Autor: ysa

Aufgabe
Sei Y ein kompakter topologischer Raum und (Xn) (n-element der natürlichen Zahlen) eine Folge von Punkten in Y.
Dann hat die Folge einen Häufungspunkt in Y, d.h. einen Punkt X element Y, so dass jede Umgebung von X unendlich viele Folgenglieder enthält.

Wie führe ich diesen Beweis?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Kompakter Topologischer Raum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:03 Do 04.05.2006
Autor: felixf

Hallo!

> Sei Y ein kompakter topologischer Raum und (Xn) (n-element
> der natürlichen Zahlen) eine Folge von Punkten in Y.
> Dann hat die Folge einen Häufungspunkt in Y, d.h. einen
> Punkt X element Y, so dass jede Umgebung von X unendlich
> viele Folgenglieder enthält.
>  Wie führe ich diesen Beweis?

Ist bei euch `kompakt' als `hat die endliche Ueberdeckungseigenschaft' definiert, d.h. gibt es zu jeder beliebigen offenen Ueberdeckung von $Y$ eine endliche Teilueberdeckung?

Wenn ja: Nimm doch mal an, dass es keinen Haeufungspunkt gibt. Das bedeutet ja gerade, dass es zu jedem Punkt $x [mm] \in [/mm] Y$ eine offene Umgebung $U(x)$ von $x$ gibt so, dass $U(x)$ nur endlich viele Punkte der Folge enthaelt.

Jetzt benutz mal die Ueberdeckungseigenschaft.

LG Felix


Bezug
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