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| Aufgabe | | Seien X und Y Banachräume, T:X->Y kompakt und surjektiv. Dann ist [mm] dim(Y)<\infty [/mm] |
Diese Aufgabe wurde in einer Übung behandelt und als Lösung wurde uns folgendes gegeben (B sei die offene Einheitskugel in X):
Nach dem Open Mapping Theorem ist T(B) offen. Da T kompakt, ist [mm] \overline{T(B)} [/mm] kompakt in Y. Daraus folgt: Die abgeschlossene Einheitskugel in Y ist kompakt, also ist Y endlichdimensional.
Ich verstehe die vorletzte Schlussfolgerung nicht. Woraus genau folgt die Kompaktheit der abgeschlossenen Einheitskugel in Y? Könnte mir das jemand bitte erklären? 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:42 Mo 28.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Seien X und Y Banachräume, T:X->Y kompakt und surjektiv.
> Dann ist [mm]dim(Y)<\infty[/mm]
> Diese Aufgabe wurde in einer Übung behandelt und als
> Lösung wurde uns folgendes gegeben (B sei die offene
> Einheitskugel in X):
>
> Nach dem Open Mapping Theorem ist T(B) offen. Da T kompakt,
> ist [mm]\overline{T(B)}[/mm] kompakt in Y. Daraus folgt: Die
> abgeschlossene Einheitskugel in Y ist kompakt, also ist Y
> endlichdimensional.
>
> Ich verstehe die vorletzte Schlussfolgerung nicht. Woraus
> genau folgt die Kompaktheit der abgeschlossenen
> Einheitskugel in Y? Könnte mir das jemand bitte erklären?
Ich denke, dass Du ein ganz entscheidendes Hilfsmittel brauchst, und das ist folgender Satz (hattet Ihr den ?):
SATZ: Sind X und Y Banachräume , ist A:X [mm] \to [/mm] Y linear und stetig und ist der Bildraum A(X) abgeschlossen, so ex. ein c>0 mit:
zu jedem y [mm] \in [/mm] A(X) ex. ein x [mm] \in [/mm] X mit Ax=y und [mm] ||x||_X \le c||y||_Y.
[/mm]
Wenn Du diesen Satz hast, so kannst Du folgendes zeigen:
SATZ: Seien X und Y Banachräume und K:X [mm] \to [/mm] Y kompakt. Dann gilt:
K(X) ist abgeschlossen [mm] \gdw [/mm] dim K(X) < [mm] \infty.
[/mm]
Daraus bekommst du dann die
FOLGERUNG: Seien X und Y Banachräume und K:X [mm] \to [/mm] Y kompakt. Ist K surjekziv, so ist dim K(X) < [mm] \infty.
[/mm]
FRED
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Hallo,
den Satz hatten wir so nicht, daher wäre es vielleicht besser, hippias' Ansatz zu benutzen, nur leider verstehe ich bei diesem noch nicht, wieso das die Behauptung zeigt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:23 Mo 28.01.2013 | | Autor: | Helbig |
> den Satz hatten wir so nicht, daher wäre es vielleicht
> besser, hippias' Ansatz zu benutzen, nur leider verstehe
> ich bei diesem noch nicht, wieso das die Behauptung zeigt.
Hallo Feuerkerk,
Nach dem Tip von hippias gibt es eine offene Kugel [mm] $B_r(0)\subseteq [/mm] T(B)$ mit dem Radius $r>0$ und dem Nullvektor von $Y$ als Mittelpunkt. Da [mm] $\overline [/mm] {T(B)}$ kompakt ist, ist [mm] $\overline {B_r(0)}$ [/mm] als abgeschlossene Teilmenge einer kompakten Menge ebenfalls kompakt. Schließlich ist die abgeschlossene Einheitskugel als Bild der kompakten Menge [mm] $\overline {B_r(0)}$ [/mm] unter der stetigen Abbildung [mm] $v\mapsto \frac [/mm] 1 r v$ kompakt.
Gruß,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:00 Mo 28.01.2013 | | Autor: | Feuerkerk |
Jetzt versteh ich's. Vielen Dank euch dreien, besonders dir, Helbig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:24 Mo 28.01.2013 | | Autor: | hippias |
Geht es nicht auch so? Da $T(B)$ offen ist, enthaelt diese Menge eine offene Kugel, deren Abschluss als abgeschlossene Teilmenge der kompakten Menge [mm] $\overline{T(B)}$ [/mm] ebenfalls kompakt ist.
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