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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:56 Di 15.11.2005 | | Autor: | ulTra |
Aufgabestellung:
Auf Z(ganze Zahlen) sei eine Verknüpfung definiert durch: a tau b :=a+b+1 für a,b Z
i)
a tau b = b tau a für alle a,b Z
ii)
(a tau b) tau c = a tau (b tau c) für alle a,b,c Z
iii)
Es gibt ein eZ mit e tau a = a tau e = a für alle a Z
Sorry wegen der seltsamen Darstellung:
= Element aus
tau soll nur eine Verknüpfung sein.
Bis jetzt habe ich nur die Sachen eingesetzt.
i)
a+b+1=b+a+1
ii)
(a+b)+1=a+(b+1)
Oder versteh ich das falsch. c ist gleich 1. bzw. soll eine Konstanke sein.
iii)
Das neutrale Element in diesem Fall ist 0.
0 + a = a + 0 = a
bzw. (invers a tau a) tau a = invers a tau (a tau a) = a
(-a + a) +a = a + (-a + a) = a
Ich nehme an mit "Man zeige"... ist ein Beweis mit impliziert.
Mein Ansatz dazu wäre ein Induktionsbeweis.
Aber welcher Induktionsanfang soll ich wählen ?
Der kleinste Wert der ganzen Zahlen ist doch -unendlich, das kann ich doch nicht als Induktionsanfang nehmen.
Danke im Vorraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:14 Di 15.11.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo UlTra,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Aufgabestellung:
> Auf Z(ganze Zahlen) sei eine Verknüpfung definiert durch:
> a tau b :=a+b+1 für a,b Z
> i)
> a tau b = b tau a für alle a,b Z
> ii)
> (a tau b) tau c = a tau (b tau c) für alle a,b,c Z
> iii)
> Es gibt ein eZ mit e tau a = a tau e = a für alle a Z
>
> Sorry wegen der seltsamen Darstellung:
> = Element aus
> tau soll nur eine Verknüpfung sein.
>
> Bis jetzt habe ich nur die Sachen eingesetzt.
> i)
> a+b+1=b+a+1
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") ,
aber besser:
a tau b = a + b + 1 = b + a + 1 = b tau a
> ii)
> (a+b)+1=a+(b+1)
> Oder versteh ich das falsch. c ist gleich 1. bzw. soll
> eine Konstanke sein.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Du darfst c nicht gleich 1 oder sonst einen Wert setzen, denn das Assoziativgesetz soll ja für alle a, b, c gelten.
also:
(a tau b) tau c = (a + b + 1) tau c
= (a + b + 1) + c + 1
= a + ( b + c + 1) + 1
= a + (b tau c) + 1 = a tau (b tau c)
> iii)
> Das neutrale Element in diesem Fall ist 0.
> 0 + a = a + 0 = a
Es gilt doch:
0 tau a = 0 + a + 1 = a + 1
Du musst von der Gleichung e tau a = a ausgehen.
e tau a = a
[mm] \gdw [/mm] e + a + 1 = a
[mm] \gdw [/mm] e = - 1
Jetzt zeigst du noch, dass auch a tau e = a gilt.
> bzw. (invers a tau a) tau a = invers a tau (a tau a) = a
> (-a + a) +a = a + (-a + a) = a
Das Inverse von a ist bei deiner Verknüpfung nicht gleich -a.
Vielleicht helfen dir die obigen Ausführungen schon, das Inverse Element von a zu finden
> Ich nehme an mit "Man zeige"... ist ein Beweis mit
> impliziert.
"Man zeige" oder "Beweise" ist dasselbe.
> Mein Ansatz dazu wäre ein Induktionsbeweis.
> Aber welcher Induktionsanfang soll ich wählen ?
> Der kleinste Wert der ganzen Zahlen ist doch -unendlich,
> das kann ich doch nicht als Induktionsanfang nehmen.
>
Das verstehe ich nicht. Wieso willst du hier einenn Induktionsbeweis führen?
Gruß
Sigrid
> Danke im Vorraus.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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