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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:57 So 21.05.2006 | | Autor: | Wendy |
| Aufgabe | Es sei J ein Ideal im kommutativen Ring R mit Eins. Beweisen sie:
(a) Der kanonische Epimorphismus [mm] \mu: [/mm] R--->R/J vermittelt eine inklusionserhaltende bijektive Abbildung von der Menge aller J enthaltenden Ideale in R auf die Menge aller Ideale in R/J.
(b) Genau dann ist J ein maximales Ideal in R, wenn R/J ein Körper ist.
(c) Genau dann ist der Ring R/J ein Integritätsbereich, wenn für beliebige Ideale A, B in R gilt: Ist A*B [mm] \subseteq [/mm] J, so A [mm] \subseteq [/mm] J oder B [mm] \subseteq [/mm] J. |
Hallo!
Ehrlich gesagt, hab ich hier noch nicht mal eine Idee, was ich genau machen soll... Wenn ihr einen Tipp, eine Idee oder Anregung habt, wäre ich euch sehr dankbar, wenn ihr sie mir schreiben würdet.
Vielen Dank!
- Eure Wendy
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Hallo Wendy!
> Es sei J ein Ideal im kommutativen Ring R mit Eins.
> Beweisen sie:
> (a) Der kanonische Epimorphismus [mm]\mu:[/mm] R--->R/J vermittelt
> eine inklusionserhaltende bijektive Abbildung von der Menge
> aller J enthaltenden Ideale in R auf die Menge aller Ideale
> in R/J.
Erstmal solltest Du Dir klar machen, dass Dir die verwendeten Begriffe geläufig sind. Weißt Du, was der "kanonische Epimorphismus" ist, wie er definiert ist, etc.?
Falls ja, kommenden Absatz überspringen, ich erkläre es nochmal kurz: ist $R$ ein komm. Ring und $J$ ein Ideal in $R$ (d.h. eine Teilmenge, die eine Untergruppe bzgl. der Addition in $R$ ist und die unter Multiplikation mit beliebigen Ringelementen abgeschlossen ist, also $R [mm] \cdot [/mm] J [mm] \subseteq [/mm] J$), dann kann ich auf $R$ eine Äquivalenzrelation einführen:
$r [mm] \sim [/mm] s [mm] \Leftrightarrow [/mm] r - s [mm] \in [/mm] J$
Dass dies eine Äquivalenzrel. ist, folgt bereits aus der Tatsache, dass $J$ eine Untergruppe bzgl. + ist. Die Menge der Äquivalenzklassen bezeichnet man mit $R/J$ und wenn $r$ Repräsentant einer Klasse ist, schreibt man diese oft $r + J$, manchmal auch [mm] $\overline{r}$. [/mm] Ein Beispiel dafür ist [mm] $\IZ [/mm] / m [mm] \IZ$. [/mm] Die Abbildung, die ein Element auf die Restklasse schickt, die es repräsentiert, ist der kanonische Epimorphismus, denn $R/J$ wird durch Addition bzw. Multiplikation der Repräsentanten wieder zu einem Ring (dafür braucht man nun, dass $J$ ein Ideal ist, nicht nur eine Untergruppe bzgl. +).
Soweit klar? Naja alles, was Du jetzt in a) zeigen sollst, ist:
Gegeben ein Ideal $I [mm] \subseteq [/mm] R$ mit $J [mm] \subseteq [/mm] I$, dann bildet der Epimorphismus die Menge $I$ auf ein Ideal in $R/J$ ab. Umgekehrt sollst Du zeigen: zu jedem Ideal $I' [mm] \subseteq [/mm] R/J$ gehört ein Ideal in $R$, das $J$ enthält und auf dieses abgebildet wird. Die beiden beschriebenen Mengen stehen also in Bijektion. Schließlich soll noch gezeigt werden, dass "Inklusionen erhalten bleiben", mit anderen Worten: sind zwei Ideale in $R$ die beide $J$ enthalten ineinander enthalten, dann sind es ihre Bilder auch.
> (b) Genau dann ist J ein maximales Ideal in R, wenn R/J
> ein Körper ist.
Hier überlege Dir, was einen Ring zum Körper macht... es ist die Tatsache, dass jedes von 0 verschiedene Element eine Einheit ist, also invertierbar bzgl. der Multiplikation.
Diese Beschreibung liefert eine Charakterisierung von Körpern mit Hilfe von Idealen: ein Ring ist genau dann ein Körper, wenn er genau zwei Ideale besitzt, nämlich das Nullideal und den ganzen Ring.
Damit sollte es ein Leichtes sein, Aufgabe a) anzuwenden. 
> (c) Genau dann ist der Ring R/J ein Integritätsbereich,
> wenn für beliebige Ideale A, B in R gilt: Ist A*B [mm]\subseteq[/mm]
> J, so A [mm]\subseteq[/mm] J oder B [mm]\subseteq[/mm] J.
Auch hier kann man Teil a) verbraten: $A [mm] \subseteq [/mm] J$ entspricht ja in $R / J$ der Null. Integritätsbereich zu sein, bedeutet Nullteilerfreiheit: aus $a [mm] \dot [/mm] b = 0$ folgt $a = 0$ oder $b = 0$. Das soll jetzt nur in die Idealsprache und zurück übersetzt werden.
Alles klar?
Lars
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:35 Do 25.05.2006 | | Autor: | Wendy |
Hallo Lars!
Erstmal vielen Dank für Deine Hilfe. Ich bin mir aber net sicher, ob ich alles so ganz verstanden hab. Also muss ich schon wieder nerven...
Zu Teil a) Ich habe mir ein beliebiges a [mm] \in [/mm] I geschnappt, das nicht in J liegt. Wenn ich das abbilde, fällt das auf [a] [mm] \in [/mm] R [mm] \wedge [/mm] [a] [mm] \not\in [/mm] J=> [a] [mm] \in [/mm] R/J. Nur reicht das mit Sicherheit mal wieder nicht, falls es überhaupt stimmt oder??? Beim 2. Abschnitt von a: Heißt das ich brauch K als Ideal für das gilt J [mm] \subseteq [/mm] K [mm] \subseteq [/mm] R. Nur was soll ich jezt damit machen? Und beim dritten Teil fehlt mir irgendwie jede Erkenntnisse. Soll ich mir hier Ideale erfinden, z.b. N und O und zeigen N [mm] \subseteq [/mm] O und O [mm] \subseteq [/mm] N und dasselbe für die Bilder???
Teil b) versteh ich nicht. Was haben Inverse hier mit der Aufgabenstellung zu tun?
Teil c) Reicht hier: Wenn R/J Integritätsbereich gilt: A*B [mm] \subseteq [/mm] J, weil [mm] R\J=0, [/mm] dann A*B=0=> A=0 oder B=0. Dann A [mm] \subseteq [/mm] J oder B [mm] \subseteq [/mm] J
Ist hingegen A [mm] \subseteq [/mm] J oder B [mm] \subseteq [/mm] J in [mm] R\J, [/mm] dann A=0 oder B=0=> A*B=0=> A*B [mm] \subseteq [/mm] J
Vielen Dank für Deine Mühen
Wendy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Sa 27.05.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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