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| Aufgabe | Sei X eine Exp (0:5)-verteilte Zufallsvariable, welche die Länge eines Telefongesprächs beschreibt.
Die Kosten eines Telefongesprächs der Länge y sind gegeben durch :
k(y) = 10 wenn y [mm] \le [/mm] 5 und 2y, wenn y>5
Berechnen Sie die erwarteten Kosten eines Telefongesprächs. |
Liebe User,
ich bin zwar mit meiner Klausurvorbereitung fast fertig, muss jedoch diese Aufgabe lösen und weiss einfach nicht, was ich machen soll.
Meine Idee ist, den Erwartungswert der Exponentialverteilten Funktion auszurechnen und gegebenfalls in k(y) einzufügen.
Geht das so ?
Bitte helft mir, denn die Klausur ist sehr wichtig für mich, und sie ist bereits in einer Woche.
Liebe Gruesse,
euer KGB-Spion
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:53 Di 30.09.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin Denis,
leider kann ich den Parameter der Exponentialvereilung nicht
interpretieren (ich vermute, es handelt sich um 1/2).
Ich rechne im folgenden mit der Dichte [mm] $f(x)=\lambda\exp[-\lambda [/mm] x]$
fuer $x>0$ und $f(x)=0$ sonst. Nach alten Bauernregeln gilt dann:
[mm] \begin{matrix}
\operatorname{E}[K]
&=&\int_{-\infty}^{+\infty}k(x)f(x)\,dx \\
&=&\int_{0}^{+\infty}k(x)\lambda\exp[-\lambda x]\,dx \\
&=&10\lambda\int_{0}^{5}\exp[-\lambda
x]\,dx+2\lambda \int_{5}^{+\infty}x\exp[-\lambda x]\,dx
\end{matrix}
[/mm]
vg Luis
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Heyhey - danke für die Rechnung - in unserem UNI - Forum stand dieselbe Idee, aber die kann ich nicht genau verstehen, denn :
wieso multiplizierst Du die Kosten mit der Länge ?
Und warum fügst Du statt dem "y" ein "x" ein ?
Ich dachte die Kosten sind eine art Funktion, welche vom Betrag der Länge abhängen ?
MFG,
Denis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:05 Di 30.09.2008 | | Autor: | luis52 |
Hallo,
ich multipliziere mit keiner Laenge nicht, sondern mit einer *Dichte*
der Laenge $f$. So gesehen ist $k(x)f(x)$ eine Gewichtung. Wo $f(x)$ vergleichsweise
gross werden die Kosten $k(x)$ staerker betont. Und der
Erwartungswert [mm] $\int_{-\infty}^{+\infty}k(x)f(x)\,dx$ [/mm] ist dann ein globales Mass.
vg Luis
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Also ich verstehe nun die Logik, welche dahinter steckt. Würde es auch gehen, wenn man f(x) in 2y einsetzt und anschliessend das Integral von 5 bis [mm] \infty [/mm] berechnet ? und dazu noch die "10" addiert ?
Das war meine letzte Idee - Deine klingt eigentlich viel logischer 
Beste Gruesse,
Denis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:13 Di 30.09.2008 | | Autor: | luis52 |
> Also ich verstehe nun die Logik, welche dahinter steckt.
> Würde es auch gehen, wenn man f(x) in 2y einsetzt und
> anschliessend das Integral von 5 bis [mm]\infty[/mm] berechnet ? und
> dazu noch die "10" addiert ?
Hm, hier weiss ich nicht, was du meinst. Hast du nicht mal ne Formel?
So mit Integralen? 
vg Luis
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Nee, das ist ja das komische an der Sache - da gibt es eine Formel im Script, die lautet aber :
Sei X : Omega --> R eine beliebige Zufallsvariable und sei "fi" R --> R eine stetige Abbildung.
Dann lässt sich der Erwartungswert Efi(x) der Zufallsvariablen fi (x) Omega --> R wie folgt bilden :
[mm] \integral_{-infty}^{infty}{fi(x) f(x) dx} [/mm] falls X stetig ist.
Was soll ich nun daraus schliessen ? Ich meine OK, den ersten Satzteil habe ich verstanden : "Wir haben eine funktion [mm] f_{x}(X) [/mm] und eine "Abbildung" die stetig ist (==> "Kosten des Telefongespräches")
Aber im 2. Satzteil verwandelt sich diese Abbildung plötzlich in eine Zuvallsvariable ?
Kannst Du mir vielleicht erklären, was man mit diesem Satz mir vermitteln will ?
Beste Gruesse,
Denis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:03 Mi 01.10.2008 | | Autor: | Zorba |
Die Zufallsvariable is fi(X), und nicht fi(x) wie du geschrieben hast.
Also eine Hintereinanderschaltung von zwei Abbildungen, so dass von [mm] \Omega [/mm] in R abgebildet wird.
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