Komischen Bruch Integrieren < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Folgendes Integral ist zu lösen:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{x^4+1}{x^5+x^3} dx} [/mm] |
Ich dachte ich wende erstmal die Partialbruchzerlegung an:
[mm] \bruch{x^4+1}{x^5+x^3} [/mm] = [mm] \bruch{A1}{x}+\bruch{A2}{x^2}+\bruch{A3}{x^3}+\bruch{B1}{x}+\bruch{B2}{x^2}+\bruch{B3}{x^3}+\bruch{B4}{x^4}+\bruch{B5}{x^5}
[/mm]
Geht das in dem speziellen Fall überhaupt so?
PS: Mein Matheprogramm meint, das Polynom im Zähler hätte auch komplexe Nullstellen, da wir sowas noch nicht hatten vermute ich das das Integral anders gelöst werden soll. Ich wüsste aber nicht, wie.
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Hallo codymanix,
forme den Bruch zunächst etwas um...
[mm] $\frac{x^4+1}{x^5+x^3}=\frac{1}{5}\cdot{}\frac{5x^4+5}{x^5+x^3}=\frac{1}{5}\cdot{}\frac{5x^4\overbrace{\red{+3x^2-3x^2}}^{=0}+5}{x^5+x^3}$
[/mm]
[mm] $\frac{1}{5}\cdot{}\frac{5x^4+3x^2}{x^5+x^3}+\frac{1}{5}\cdot{}\frac{-3x^2+5}{x^5+x^3}$
[/mm]
Dann kannst du das Integral im ersten Schritt als Summe zweier Integrale schreiben:
[mm] $\int{\frac{x^4+1}{x^5+x^3} \ dx}=\frac{1}{5}\cdot{}\int{\frac{5x^4+3x^2}{x^5+x^3} \ dx}+\frac{1}{5}\cdot{}\int{\frac{-3x^2+5}{x^5+x^3} \ dx}$
[/mm]
Das erste Integral ist nun ein logarithmisches, also eines, wo im Zähler die Ableitung des Nenners steht.
Und ein solches Integral [mm] $\int{\frac{f'(x)}{f(x)} \ dx}$ [/mm] hat bekanntlich die Stammfunktion [mm] $F(x)=\ln|f(x)|+C$
[/mm]
(Das kannst du auch zu Fuß per Substitution [mm] $u:=x^5+x^3$ [/mm] lösen, wenn du magst  )
Für das hintere Integral mache nun eine PBZ:
Ansatz: [mm] $\frac{-3x^2+5}{x^5+x^3}=\frac{-3x^2+5}{x^3\cdot{}(x^2+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x^3}+\frac{Dx+E}{x^2+1}$
[/mm]
Diese PBZ ist nicht allzu schwer zu berechnen, es hebt sich vieles weg.
Wenn du das mal berechnest, kannst du schlussendlich den hinteren Bruch als Summe dreier Brüche schreiben, die du einfach integrieren kannst
Dann alles zusammensetzen, die [mm] $\frac{1}{5}$ [/mm] nicht vergessen... und du hast es
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:38 Di 29.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo codymanix!
Du kommst hier auch auschließlich mit  Partialbruchzerlegung zum Ziel. Diese muss hier lauten:
[mm] $$\bruch{x^4+1}{x^5+x^3} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x^4+1}{x^3*\left(x^2+1\right)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{x}+\bruch{B}{x^2}+\bruch{C}{x^3}+\bruch{D*x+E}{x^2+1}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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