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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:30 Mi 01.05.2013 | | Autor: | Dogge |
| Aufgabe | [mm] $\sum^m_{k=0} [/mm] {n [mm] \choose [/mm] k}{n-k [mm] \choose m-k}=2^m{n \choose m}$
[/mm]
[mm] n,m\in [/mm] N und n>=m. |
Weiß jemand wie man diesen Ausdruck ohne Induktion, also nur mit kombinatorischen Argumenten zeigt?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Teil doch mal beide Seiten durch [mm] $\binom{n}{m}$.
[/mm]
Links solang umformen bis nur noch der binomische Lehrsatz für [mm] $(1+1)^m$ [/mm] dasteht.
Der Standardtrick die hypergeo. Verteilung zu nutzen (Summe über "Dichte" ist gleich 1) bringt hier vermutlich nicht viel.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:30 Do 09.05.2013 | | Autor: | Dogge |
Danke wieschoo. Das wäre aber mehr ein rechnerischer Beweis.
Dogge
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:50 Do 09.05.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
Stelle dir folgendes Szenario vor :
Ein Turn-Verein mit n Mitgliedern schickt eine Abordnung von m Mitgliedern zur Bundes-Delegierten-Konferenz nach Wanne-Eickel. Man fährt mit der Bahn; einige Deligierte fahren erster Klasse, der Rest fährt zweiter Klasse.
Wie viele Aufteilungen sind möglich ?
Erste Variante des Abzählens (linke Seite der Gleichung) :
Aus den n Vereinsmitgliedern werden zunächst diejenigen k Mitglieder ausgewählt, die erster Klasse fahren, anschließend aus den restlichen n-k Vereinsmitgliedern diejenigen m-k , die zweiter Klasse reisen.
Zweite Variante des Abzählens (rechte Seite der Gleichung) :
Es wird zunächst das m-köpfige Kommitee bestimmt, anschließend jede mögliche Teilmenge davon (es gibt [mm] 2^m [/mm] Stück), die erster Klasse fahren.
Gruß Sax.
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