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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:14 So 25.01.2009 | | Autor: | Roli772 |
| Aufgabe | Wieviele (natürliche) Zahlen x [mm] \le [/mm] 1000 gibt es, die von keiner der Zahlen
r [mm] \in [/mm] {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} geteilt werden? |
Hi!
Vielleicht kann mir jemand hier weiterhelfen.
Zunächst brauche ich sicher nur die Zahlen betrachten, die keinen Primteiler [mm] \in [/mm] {2,3,5,7} haben.
Nur die Frage ist, wie gehe ich das Ganze an? Ich steh hier irgendwie auf der Leitung.
Danke für eure Zeit!
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:51 So 25.01.2009 | | Autor: | gaisi |
Hallo!
Deine Überlegung ist richtig.
Ich würde zuerst berechnen, wie viele Zahlen es gibt, die durch 2, 3, 5 oder 7 teilbar (abgekürzt mit tb) sind.
Zu berechnen ist folgendes:
(alle durch 2 oder 3 oder 5 oder 7 tb) = (alle durch 2 tb) + (alle durch 3 tb) + (alle durch 5 tb) + (alle durch 7 tb) - (alle durch 2 und 3 = 6 tb) - (alle durch 2 und 5 = 10 tb) - (alle durch 2 und 7 = 14 tb) - (alle durch 3 und 5 = 15 tb) - (alle durch 3 und 7 = 21 tb) - (alle durch 5 und 7 = 35 tb) + (alle durch 2 und 3 und 5 = 30 tb) + (alle durch 2 und 3 und 7 = 42 tb) + (alle durch 2 und 5 und 7 = 70 tb) + (alle durch 3 und 5 und 7 = 105 tb) + (alle durch 2 und 3 und 5 und 7 = 210 tb)
Grund dafür ist der Additionssatz:
P(a [mm] \cup [/mm] b [mm] \cup [/mm] c)=P(a)+P(b)+P(c)-P(a [mm] \cap [/mm] c)-P(b [mm] \cap [/mm] c)+P(a [mm] \cup [/mm] b [mm] \cup [/mm] c)
Wenn man alle Vielfachen von 2, 3 und 5 addiert, so kommen ja alle Vielfachen von 2 und 3 (also 6) sowie 2 und 5 (also 10) und 3 und 5 (also 15) mehrfach vor. Man muss also die Anzahl der Vielfachen von 6, 10 und 15 wieder subtrahieren. Dann tritt allerdings das Problem auf, dass man alle Vielfachen von 2 und 3 und 5 (also 30) zu oft substrahiert hat, also muss man sie wieder addieren.
Veranschaulicht bis 35:
Vielfache von 2 = (2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32,34) [mm] \to [/mm] 17
Vielfache von 3 = (3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33) [mm] \to [/mm] 11
Vielfache von 5 = (5,10,15,20,25,30,35) [mm] \to [/mm] 7
Vielfache von 2 und 3 = (6,12,18,24,30) [mm] \to [/mm] 5
Vielfache von 2 und 5 = (10,20,30) [mm] \to [/mm] 3
Vielfache von 3 und 5 = (15,30) [mm] \to [/mm] 2
Vielfache von 2 und 3 und 5 = (30) [mm] \to [/mm] 1
Anzahl der durch 2,3,4,5,6,7,8,9,10 teilbaren Zahlen: 17 + 11 + 7 - 5 - 3 - 2 + 1 = 26
Also sind 35 - 26 = 9 Zahlen nicht teilbar!
Hoffe das hilft dir!
Lg Karin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:04 Di 27.01.2009 | | Autor: | Roli772 |
Ja danke, das hilft mir weiter!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:35 Di 27.01.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin allerseits,
ich konnte nicht widerstehen, die Aufgabe mit nackter Gewalt in R zu
loesen. Die Anzahl ist 227:
| 1: |
| | 2: | > x <- 2:1000
| | 3: | > r <- 2:10
| | 4: | > a <- outer(x,a,"%%")
| | 5: | > x <- x[apply(a!=0,1,all)])
| | 6: | [1] 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71
| | 7: | [17] 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 121 127 131 137 139 143
| | 8: | [33] 149 151 157 163 167 169 173 179 181 187 191 193 197 199 209 211
| | 9: | [49] 221 223 227 229 233 239 241 247 251 253 257 263 269 271 277 281
| | 10: | [65] 283 289 293 299 307 311 313 317 319 323 331 337 341 347 349 353
| | 11: | [81] 359 361 367 373 377 379 383 389 391 397 401 403 407 409 419 421
| | 12: | [97] 431 433 437 439 443 449 451 457 461 463 467 473 479 481 487 491
| | 13: | [113] 493 499 503 509 517 521 523 527 529 533 541 547 551 557 559 563
| | 14: | [129] 569 571 577 583 587 589 593 599 601 607 611 613 617 619 629 631
| | 15: | [145] 641 643 647 649 653 659 661 667 671 673 677 683 689 691 697 701
| | 16: | [161] 703 709 713 719 727 731 733 737 739 743 751 757 761 767 769 773
| | 17: | [177] 779 781 787 793 797 799 803 809 811 817 821 823 827 829 839 841
| | 18: | [193] 851 853 857 859 863 869 871 877 881 883 887 893 899 901 907 911
| | 19: | [209] 913 919 923 929 937 941 943 947 949 953 961 967 971 977 979 983
| | 20: | [225] 989 991 997
| | 21: | > length(x)
| | 22: | [1] 227
|
vg Luis
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