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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:26 Mi 08.03.2006 | | Autor: | ATV_IKEA |
| Aufgabe | In einem Hotel sind noch 5 Zimmer frei. Jedes dieser Zimmer ist ein Dreibettzimmer. Am Abend kommen drei Freunde, denen es egal ist, ob sie allein, zu zweit oder zu dritt in einem Zimmer schlafen.
Wieviele Möglichkeiten hat der Hotelier, um die Freunde auf die Zimmer zu verteilen?
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Eine Kommilitonin und ich diskutieren seit mehreren Tagen über diese eigentlich simple kombinatorische Aufgabe.
Wir können uns dummerweise nicht einig werden, wer von uns die richtige Lösung ermittelt hat. Leider fehlt es uns an einer Musterlösung, ich hoffe sehr, dass uns hier weiter geholfen wird.
unsere Überlegungen lauten wie folgt:
I.
Alle in 1 Zimmer: 5 Möglichkeiten
Alle in andere Zimmer: Reihenfolge wichtig, ohne Wiederholung: 5!/(5-3)! = 60 Möglichkeiten
Zwei in ein Zimmer, einer alleine: 3*5!/(5-2)! = 60 Möglichkeiten
=> 5+60+60=120 Möglichkeiten gesamt.
II.
Mit Wiederholung, Reihenfolge unwichtig
n=5, k=3
(3+5-1)über(3) -> also 7über3 = 35 <- Freunde nicht unterscheidbar
=> 35*3=105 Möglichkeiten gesamt.
vielleicht haben wir aber auch beide unrecht :)
Danke!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo und guten Morgen,
also zum einen gibt es da schon einen Diskussionsstrang, ich meine, auch im Kombinatorik-Forum, der zuletzt
von Karl_Pech und mir beackert wurde. Ich such ihn momentan mal grad nicht, aber es ging um diese Aufgabe.
(1) Wenn die Freunde nicht unterscheidbar sind, fragt Ihr nach der Anzahl der Vektoren [mm] v=(v_1,\ldots ,v_5)\in\{0,1,2,3\}^5
[/mm]
mit der Eigenschaft [mm] \sum_{i=1}^5v_i=3, [/mm] richtig ?
Dazu hatte Karl folgende schöne Lösung geschrieben:
Codiert solche Vektoren unär, d.h zunächst die Zahlen 0 bis 3 unär:
0 durch den leeren String
1 durch den String 1
2 durch den String 11
3 durch deen String 111
Dann nehmt als Trennsymbole zwischen den Zimmern die 0, d.h.
wir haben vier Nullen um die Zimmer 1-5 zu trennen, und 3 Einsen insgesamt.
So bedeuten zB
0011010 die Belegung (0,0,2,1,0)
1101000 die Belegung (2,1,0,0,0)
1010100 die Belegung (1,1,1,0,0)
Klar soweit ?
Die Anzahl der Möglichkeiten ist dann gleich der Anzahl der Möglichkeiten,
aus 7 Positionen drei auszuwählen, also
[mm] {7\choose 3}
[/mm]
(2) Falls die Freunde unterscheidbar sind, so fragt Ihr einfach nach der Anzahl der
Abbildungen
[mm] f\colon\{1,2,3\}\to\{1,2,3,4,5\},
[/mm]
und allgemein ist für Mengen A und B die Zahl der Abbildungen [mm] f\colon A\to [/mm] B gleich
[mm] |B|^{|A|},
[/mm]
hier also [mm] 5^3=75
[/mm]
In Ordnung soweit ?
Gruss,
Mathias
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