Kombinatorik-Aufgabe < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Aus einem Karton mit 50 Glühbirnen, von denen 7 defekt sind, werden 5 Glühbirnen entnommen und geprüft.Mit welcher Wahrscheinlichkeit befindet sich in der Stichprobe
A) genau eine defekte Glühbirne
B) höchstens eine defekte Glühbirne
C) mindestens eine defekte Glühbiren ? |
Kann mir einer bitte die Aufgabe lösen.
Habe nicht viel Ahnung von Kombinatorik aber der Lösungsansatz muss irgendwas mit Fakultäten zu tun haben wie z.B. (50)
7
Vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Gruss!
Naja, es gibt ${50 [mm] \choose [/mm] 5}$ Möglichkeiten, die Birnen zu wählen.
Bei Aufgabe A) sind alle diejenigen davon gesucht, die genau eine defekte enthalten, das sind aber
${43 [mm] \choose [/mm] 4} [mm] \cdot [/mm] {7 [mm] \choose [/mm] 1}$. Der Quotient ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
$P(A) = [mm] \frac{{43 \choose 4} \cdot {7 \choose 1}}{{50 \choose 5}} [/mm] = [mm] \frac{43 \cdot 42 \cdot 41 \cdot 40 \cdot 7 \cdot 5!}{4! \cdot 50 \cdot 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46} [/mm] = [mm] \frac{43 \cdot 41}{4 \cdot 47 \cdot 23}$
[/mm]
Was auch immer da raus kommt.
Wenn es höchstens eine defekte Birne sein soll, ergibt sich daraus, dass es eine oder keine ist. Da die beiden Möglichkeiten sich ausschliessen und es genau ${43 [mm] \choose [/mm] 5}$ Möglichkeiten gibt, keine defekte zu ziehen, ergibt sich hier:
$P(B) = P(A) + [mm] \frac{{43 \choose 5}}{{50 \choose 5}} [/mm] = P(A) + [mm] \frac{43!}{38! \cdot 5!} \cdot \frac{45! \cdot 5!}{50!} [/mm] = P(A) + [mm] \frac{43 \cdot 41 \cdot 13 \cdot 3}{47 \cdot 23 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 4}$
[/mm]
Schließlich kann man $C$ entsprechend ausdrücken:
$P(C) = 1 - [mm] \big(P(B) [/mm] - [mm] P(A)\big) [/mm] = 1 + P(A) - P(B)$
Alles klar?
Lars
|
|
|
|
