Kombinationen bei 3 Würfeln < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt!
Ich habe leider mal wieder eine Frage:
wieviele kombinationen für 3 würfel (also ohne berücksichtigung der reihenfolge, die spielt keine rolle) gibt es?
ich hab 91 raus, mein lehrer aber 120
ich hab mein ergebnis durch ausprobieren aufgestellt
mein lehrer hat 6*5*4 gerechnet.
ich hab mal beispielsweise aufgeschrieben
1-1-1
1-1-2
..
1-1-6
bei der 1 kann man so 6 türme mit 6 möglichkeiten aufstellen
bei der 2
fällt ohne berücksichtigung der reihenfolge der erste turm weg
also
2-1-1 gibts ja schon (1-1-2)
2-1-2 auch usw.
beim zweiten turm
2-2-1 (1-2-2) fällt nur die erste weg
die anderen gibt es also 5 türme à 5 möglichkeiten
also 6*6+5*5+4*4..=91
oder mach ich nen denkfehler?
danke für jegliche hilfe (ne formel dafür wäre sehr hilfreich!!)
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Hallo!
> ich hab 91 raus, mein lehrer aber 120
>
> ich hab mein ergebnis durch ausprobieren aufgestellt
>
> mein lehrer hat 6*5*4 gerechnet.
Das ist definitiv falsch. So zählt man die Kombinationen, die aus lauter verschiedenen Zahlen bestehen, wobei die Reihenfolge beachtet wird.
> ich hab mal beispielsweise aufgeschrieben
>
> 1-1-1
> 1-1-2
> ..
> 1-1-6
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") das ist der richtige Ansatz!
> bei der 1 kann man so 6 türme mit 6 möglichkeiten
> aufstellen
Nein, nicht ganz. Lass uns doch mal systematisch aufschreiben und dabei die Ziffern jeweils der Größe nach ordnen. Schon im zweiten Turm würde doch als erstes 1-2-1 kommen nach Deinem System. Diese Kombination gibt es aber schon im ersten Turm. Der zweite Turm beginnt also mit 1-2-2 und hat nur 5 Möglichkeiten. Der dritte Turm (Du kannst es vermuten) hat nur 4 Möglichkeiten. Alle Türme mit der 1 vorne haben daher 6+5+4+3+2+1=21 Möglichkeiten.
> bei der 2
> fällt ohne berücksichtigung der reihenfolge der erste turm
> weg
> also
> 2-1-1 gibts ja schon (1-1-2)
> 2-1-2 auch usw.
>
> beim zweiten turm
> 2-2-1 (1-2-2) fällt nur die erste weg
> die anderen gibt es also 5 türme à 5 möglichkeiten
Versuch doch jetzt noch mal Dein System weiter. Das richtige Ergebnis sollte 56 sein. Und die Formel dafür ist [mm] ${8\choose 5}$. [/mm] Dahin kommt man aber nur über einen Trick, bzw. eine Umformulierung des Problems. Wenn Du magst, erkläre ich dazu nächstes Mal noch was.
Viele Grüße
Brigitte
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Erstmal vielen dank!
Kann deinen Lösungsansatz nachvollziehen und habe es jetzt verstanden, aber da man im Falle einer Klausur nicht unbedingt Zeit hat, diese Türme aufzustellen, wäre nen Verfahren hierfür ganz hilfreich:
"Dahin kommt man aber nur über einen Trick, bzw. eine Umformulierung des Problems. Wenn Du magst, erkläre ich dazu nächstes Mal noch was. "
Deswegen, ja bitte...
Und noch folgende Rückfrage:
>>
>> mein lehrer hat 6*5*4 gerechnet.
> Das ist definitiv falsch. So zählt man die Kombinationen, die aus lauter
> verschiedenen Zahlen bestehen, wobei die Reihenfolge beachtet wird.
Stimmt das?
Wenn man die Reihenfolge beachtet, sind es doch [mm] 6^{3} [/mm] = 216 Möglichkeiten?! oder nicht?
dieses 6*5*4 wäre demnach dann wofür?
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Hallo nochmal!
> Kann deinen Lösungsansatz nachvollziehen und habe es jetzt
> verstanden, aber da man im Falle einer Klausur nicht
> unbedingt Zeit hat, diese Türme aufzustellen, wäre nen
> Verfahren hierfür ganz hilfreich:
Na ja, Du musst ja auch nicht alles aufschreiben. Das System hast Du ja frühzeitig entdeckt. Man hat dann erst [mm] $6+\ldots+1$, [/mm] anschließend [mm] $5+\ldots+1$ [/mm] usw., also 21+15+10+6+3+1=56.
> "Dahin kommt man aber nur über einen Trick, bzw. eine
> Umformulierung des Problems. Wenn Du magst, erkläre ich
> dazu nächstes Mal noch was. "
Zwerglein hat ja schon eine sehr elegante Lösung gefunden. Ich gebe Dir trotzdem noch meine Lösungsalternative. Man kann sich jede einzelne Möglichkeit auch so aufschreiben, dass gezählt wird, wie oft jede einzelne Ziffer vorkommt, und das so kodieren, dass auf 8 Feldern genau 3 nicht besetzt werden. Zum Beispiel so:
| |x|x| |x|x|x| |
Du siehst ein leeres Feld ganz links, dann zwei Trennfelder (mit x gekennzeichnet) usw. Das würde man nun so interpretieren: von links nach rechts geben die freien Felder nacheinander die Anzahlen der Ziffer 1, der Ziffer 2 usw. bis zur Ziffer 6 an. Ein Trennfeld gibt an, dass nun die Anzahl der nächsten Ziffer folgt. Das Beispiel sagt also: eine 1, keine 2 (da ja direkt zwei Trennfelder nacheinander kommen), eine 3, keine 4, keine 5 und eine 6 - also die Zahlenkombination 1-3-6. Noch ein Beispiel:
| | |x| |x|x|x|x|
entspricht 1-1-2. So geht es auf jeden Fall nur darum, 3 freie Felder von den insgesamt 8 auszusuchen, und dafür gibt es die angesprochenen [mm] ${8\choose 3}=56$ [/mm] Möglichkeiten.
Allgemein erklärt man so die Formel [mm] ${n+k-1\choose k}$ [/mm] für die Anzahl der Möglichkeiten, aus einer Menge von $n$ Elementen genau $k$ Elemente zu ziehen, wobei Wiederholungen erlaubt sind und es nicht auf die Reihenfolge ankommt. Für Deine Aufgabe haben wir $n=6$, da es 6 verschiedene Ziffern sind, und $k=3$, da die Kombination drei Ziffern enthalten soll.
Aber wie gesagt: für diese Aufgabe hat Zwerglein wohl die eleganteste Lösung.
> Und noch folgende Rückfrage:
>
> >>
> >> mein lehrer hat 6*5*4 gerechnet.
>
> > Das ist definitiv falsch. So zählt man die Kombinationen,
> die aus lauter
> > verschiedenen Zahlen bestehen, wobei die Reihenfolge
> beachtet wird.
>
> Stimmt das?
>
> Wenn man die Reihenfolge beachtet, sind es doch [mm]6^{3}[/mm] = 216
> Möglichkeiten?! oder nicht?
Wenn alle Zahlen erlaubt sind, ja. Ich hatte ja geschrieben, dass Dein Lehrer nur die Kombinationen gezählt hat, wo alle Ziffern verschieden sind. Vielleicht habe ich mich da nicht deutlich genug ausgedrückt.
Viele Grüße
Brigitte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:10 So 13.02.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hallo, Ihr beiden,
da kann ich Brigitte nur beipflichten!
Diese Aufgabe lässt sich durch Aufschreiben der Ergebnisse etwas schwer lösen, aber man kommt z.B. auch durch folgende Überlegung drauf:
(1) Wieviele Ergebnisse gibt es, bei denen alle 3 Zahlen gleich sind?
Natürlich 6, nämlich {1;1;1}, ... ; {6;6;6}.
(2) Wieviele gibt es, bei denen 2 gleich sind, das 3. nicht? Naja: 6*5=30.
(3) Bleiben noch die, bei denen alle drei Ziffern verschieden sind: [mm] \vektor{6\\3}=20.
[/mm]
Summe demnach: 6+30+20=56.
mfG!
Zwerglein
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Ok vielleicht habt ihr einfach andere Vorraussetzungen
oder ich bin einfach nicht so genial und versteh das auf Anhieb jedenfalls gerade nicht.
Diese Formel von Brigitte finde ich super, wenn die wirklich überall wo es nicht auf die Reihenfolge ankommt, funktioniert?! (Frage)
und zu Zwergleins Lösungsansatz...Den ersten schritt verstehe ich ...da hast du es ja auch noch angegeben..
aber den zweiten mit 5*6 = 30
wie kommst du da so einfach drauf, ohne dabei doppelte zu haben
11x
x11
1x1
kann den Gedankengang nicht nachvollziehen, sorry
und beim dritten auch nicht wie ich auf dieses 6 über 3 komme
bitte nochmals um erklärung
danke
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Hallo nochmal!
> Ok vielleicht habt ihr einfach andere Vorraussetzungen
> oder ich bin einfach nicht so genial und versteh das auf
> Anhieb jedenfalls gerade nicht.
Keine Angst; als ich noch in der Schule war, hat mir das leider auch keiner so erklärt. Das habe ich erst später gelernt 
> Diese Formel von Brigitte finde ich super, wenn die
> wirklich überall wo es nicht auf die Reihenfolge ankommt,
> funktioniert?! (Frage)
Ja, die funktioniert immer, weil man sich auch immer die Sache mit den Trennfeldern überlegen kann.
> und zu Zwergleins Lösungsansatz...Den ersten schritt
> verstehe ich ...da hast du es ja auch noch angegeben..
>
> aber den zweiten mit 5*6 = 30
> wie kommst du da so einfach drauf, ohne dabei doppelte zu
> haben
> 11x
> x11
> 1x1
Zwerglein beachtet die REihenfolge nicht, sondern sucht einfach nur die Möglichkeiten der Form a-a-b, d.h. Kombinationen, bei denen genau eine Ziffer doppelt ist (nämlich a). Das ist dasselbe wie a-b-a oder b-a-a; wird nur als eine Möglichkeit gezählt. Für a gibt es 6 Möglichkeiten, für b dann nur noch 5. Deshalb 6*5.
> und beim dritten auch nicht wie ich auf dieses 6 über 3
> komme
Hier geht es nun um Kombinationen des Typs a-b-c, und da muss ich mir nur aus den 6 Ziffern drei raussuchen, also (da es nicht auf die Reihenfolge ankommt) [mm] ${6\choose 3}$ [/mm] Möglichkeiten.
Falls was nicht klar ist, frag einfach noch mal nach. Dann müssen wir einfach besser erklären 
Viele Grüße
Brigitte
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Guuti!
Vielen vielen lieben dank.
Habe jetzt denke ich alles begriffen.
Werde meinen Lehrer morgen mal mit den neu erworbenen kenntnissen konfrontieren.
tschau
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