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| Aufgabe | | n unterschiedliche Bälle werden in N Zellen gelegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Zelle genau [mm] k\le [/mm] n Bälle enthält? |
Hallo, hallo!
Das oben genannte Beispiel ist ein Übungsbeispiel in meinem Skript. Die Lösung lautet folgend:
1) Die Anzahl der möglichen Fälle ist folgend zu bestimmen:
--> #(mögliche Fälle) = [mm] V_{w}(N,n)=N^{n}
[/mm]
Okay, ich hab das so verstanden. n Bälle werden in N Zellen gelegt. Jeder Ball kann in jeder Zelle vorkommen. Die Zellen sind meiner Meinung nach die Grundmenge, also [mm] \Omega=\{N_{1},N_{2}...N_{i}\}, [/mm] die Bälle bilden ein sog. n-Tupel [mm] n_{1},n_{2},n_{3}...
[/mm]
Ein Ball hat somit N Besetzungsmöglichkeiten. Ein weiterer Ball hat wieder N Besetzungsmöglichkeiten, die beiden Bälle haben dann [mm] N^{2} [/mm] Besetzungsmöglichkeiten, und n Bälle haben dann [mm] N^{n} [/mm] Besetzungsmöglichkeiten. Okay, daraus folgt eine Variation mit Wiederholung, die Reihenfolge spielt eine Rolle.
2) Die Anzahl der günstigen Fälle ergibt sich als folgendes Produkt:
--> #(günstige Fälle) = #(aus n Bällen k auswählen) * #((n-k) Bälle auf (N-1) Zellen verteilen
Hier entstehen dann die Probleme. Ich weiß nicht, wie man auf die günstigen Fälle kommt. Ich weiß, dass [mm] k\le [/mm] n Bälle in einer bestimmten Zelle sein sollen.
--> Es gibt N Zellen.
--> Es gibt n Bälle.
--> k Bälle sollen in einer bestimmten Zelle sein.
Also: In einer bestimmten Zelle müssen k Bälle sein. Wie sieht's da mit Kombination aus? Entweder sind die ersten k Bälle in der Zelle, die letzten k Bälle, oder gar k Bälle mit unterschiedlichen Indizes. Wichtig ist nur, dass es k Bälle sind. In welcher Reihenfolge diese Bälle in der Zelle vorhanden sind, ist ja egal, daher KOMBINATION.
--> Es gibt k Bälle in einer Zelle.
Ab hier wird's weiß ich nicht mehr ganz genau weiter. Ich versteh's einfach nicht. Es steht geschrieben, dass n Bälle aus k Bällen ausgewählt werden. Spielt es dann eine Rolle, welche Bälle das sind? Und was bedeutet der Ausdruck #((n-k) Bälle auf (N-1) Zellen verteilen? Warum tut man das?
Ich hoffe, jemand kann mir weiter helfen.
Gruß, h.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:38 Fr 12.10.2007 | | Autor: | Blech |
> n unterschiedliche Bälle werden in N Zellen gelegt. Wie
> groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Zelle
> genau [mm]k\le[/mm] n Bälle enthält?
> Hallo, hallo!
>
> Das oben genannte Beispiel ist ein Übungsbeispiel in meinem
> Skript. Die Lösung lautet folgend:
>
> 1) Die Anzahl der möglichen Fälle ist folgend zu
> bestimmen:
> --> #(mögliche Fälle) = [mm]V_{w}(N,n)=N^{n}[/mm]
>
> Okay, ich hab das so verstanden. n Bälle werden in N Zellen
> gelegt. Jeder Ball kann in jeder Zelle vorkommen. Die
> Zellen sind meiner Meinung nach die Grundmenge, also
> [mm]\Omega=\{N_{1},N_{2}...N_{i}\},[/mm] die Bälle bilden ein sog.
> n-Tupel [mm]n_{1},n_{2},n_{3}...[/mm]
? Ich weiß nicht genau, was [mm] N_1, [/mm] etc. sein soll, aber [mm] $\Omega$ [/mm] würde so ausschauen:
[mm] $\Omega=\{(\omega_1,\omega_2,\dots,\omega_n);\ \omega_i\in\{1,\dots,N\}\}$
[/mm]
D.h. ein n-Tupel, wobei der i-te Eintrag beschreibt in welcher der N Zellen der i-te Ball liegt.
(Oder auch
[mm] $\Omega=\{(\omega_{i,j})_{i\in\{1,\dots,n\},\ j\in\{1,\dots,N\}};\ \omega_{i,j}\in\{0,1\}\}$
[/mm]
D.h. eine nxN Matrix; der i,j-te Eintrag ist eine 1, falls der i-te Ball in der j-ten Zelle liegt und eine 0 falls nicht. Das ist natürlich umständlicher definiert)
>
> Ein Ball hat somit N Besetzungsmöglichkeiten. Ein weiterer
> Ball hat wieder N Besetzungsmöglichkeiten, die beiden Bälle
> haben dann [mm]N^{2}[/mm] Besetzungsmöglichkeiten, und n Bälle haben
> dann [mm]N^{n}[/mm] Besetzungsmöglichkeiten. Okay, daraus folgt eine
> Variation mit Wiederholung, die Reihenfolge spielt eine
> Rolle.
"Die Reihenfolge" könnte mehrere Sachen meinen imho.
Die Bälle sind unterscheidbar. Bei 3 Bällen und zwei Zellen ist also ein Unterschied zwischen (1,1,2) und (2,1,1) (nach der ersten Definition von [mm] $\Omega$).
[/mm]
>
> 2) Die Anzahl der günstigen Fälle ergibt sich als folgendes
> Produkt:
> --> #(günstige Fälle) = #(aus n Bällen k auswählen) *
> #((n-k) Bälle auf (N-1) Zellen verteilen
>
> Hier entstehen dann die Probleme. Ich weiß nicht, wie man
> auf die günstigen Fälle kommt. Ich weiß, dass [mm]k\le[/mm] n Bälle
> in einer bestimmten Zelle sein sollen.
> --> Es gibt N Zellen.
> --> Es gibt n Bälle.
> --> k Bälle sollen in einer bestimmten Zelle sein.
>
> Also: In einer bestimmten Zelle müssen k Bälle sein. Wie
> sieht's da mit Kombination aus? Entweder sind die ersten k
> Bälle in der Zelle, die letzten k Bälle, oder gar k Bälle
> mit unterschiedlichen Indizes.
Deswegen "#(aus n Bällen k auswählen)". ${n [mm] \choose [/mm] k}$. Die Anzahl der Möglichkeiten, aus n Indizes k auszuwählen, die wir dann in die vorher festgelegte Zelle legen.
> Ab hier wird's weiß ich nicht mehr ganz genau weiter. Ich
> versteh's einfach nicht. Es steht geschrieben, dass n Bälle
> aus k Bällen ausgewählt werden. Spielt es dann eine Rolle,
> welche Bälle das sind? Und was bedeutet der Ausdruck
> #((n-k) Bälle auf (N-1) Zellen verteilen? Warum tut man
> das?
Wenn Du eine feste Auswahl von k Indizes getroffen hast, die Du in die eine Zelle legst, hast Du jetzt ja noch immer [mm] $(N-1)^{n-k}$ [/mm] Möglichkeiten, die verbliebenen n-k Bälle auf die anderen Zellen zu verteilen.
Sagen wir N=3 und n=3, sowie k=1; es soll genau 1 Ball in der ersten Zelle sein.
Damit haben wir drei verschiedene Möglichkeiten für den Ball in der ersten Zelle. Aber für jeden dieser 3 Fälle haben wir dann ja noch verschiedene Möglichkeiten die verbliebenen 2 Bälle auf die verbliebenen 2 Zellen zu verteilen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:30 Fr 12.10.2007 | | Autor: | Braunstein |
Vielen Dank für deine umfangreiche Antwort.
Du hast mir mit deiner Notation [mm] \Omega=... [/mm] sehr geholfen. Jetzt macht das Ganze schon viel mehr Sinn und "Bilder" im Kopf.
Gruß, h.
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