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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:16 Mi 08.05.2013 | | Autor: | melodie |
| Aufgabe | Gegeben sind 8 Zufallszahlen aus einer Gleichverteilung auf [0,1]:
0.45, 0.25, 0.60, 0.15, 0.30, 0.40, 0.51, 0.50
a) Führen Sie den Test auf dem zweiseitigen 5%-Niveau durch. Verwenden Sie dazu den Kolmogorov-Smirnov-Anpassungstest.
b)Bestimmen Sie näherungsweise den p-Wert des Testes.
c) Geben sie einen Maximum Likelihood-Schätzer [mm] \hat\theta* [/mm] für den Parameter [mm] \theta [/mm] einer [mm] [0,\theta] [/mm] Gleichverteilung für die obige Stichprobe vom Umfang 8. Führen Sie jetzt den Test wie in a9 hinsichtlich der Gleichverteilung [mm] [0,\theta*] [/mm] durch. |
da ich hier eine Gleichverteilung habe, konnte ich schon mal [mm] \mu= \bruch{1}{2} [/mm] und [mm] \sigma^{2}=\bruch{1}{12} [/mm]
ich, weiss nicht wie man einen Smirnov-Anpassungstest macht. Könnte mir jemand den Smirnov und Maximum Likelihood so erklären, dass ich das Wissen dann auch an anderen Aufgaben anwenden kann?
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Hallo,
> Gegeben sind 8 Zufallszahlen aus einer Gleichverteilung auf
> [0,1]:
> 0.45, 0.25, 0.60, 0.15, 0.30, 0.40, 0.51, 0.50
>
> a) Führen Sie den Test auf dem zweiseitigen 5%-Niveau
> durch. Verwenden Sie dazu den
> Kolmogorov-Smirnov-Anpassungstest.
> b)Bestimmen Sie näherungsweise den p-Wert des Testes.
> c) Geben sie einen Maximum Likelihood-Schätzer
> [mm]\hat\theta*[/mm] für den Parameter [mm]\theta[/mm] einer [mm][0,\theta][/mm]
> Gleichverteilung für die obige Stichprobe vom Umfang 8.
> Führen Sie jetzt den Test wie in a9 hinsichtlich der
> Gleichverteilung [mm][0,\theta*][/mm] durch.
> da ich hier eine Gleichverteilung habe, konnte ich schon
> mal [mm]\mu= \bruch{1}{2}[/mm] und [mm]\sigma^{2}=\bruch{1}{12}[/mm]
> ich, weiss nicht wie man einen Smirnov-Anpassungstest
> macht. Könnte mir jemand den Smirnov und Maximum
> Likelihood so erklären, dass ich das Wissen dann auch an
> anderen Aufgaben anwenden kann?
Für Smirnov kannst du dir ja erstmal den Wikipedia-Artikel durchlesen: ![[]](/images/popup.gif) K-S-Test.
Für die Durchführung des Tests brauchst du zunächst die Verteilungsfunktion.
Du hast eine Gleichverteilung auf [0,1], was ist da die Verteilungfunktion [mm] $F_0(x)$ [/mm] (x [mm] \in [/mm] [0,1] ) ?
Nun geht es um die empirische Verteilungsfunktion.
Dazu brauchst du deine beobachteten Werte, die du mit [mm] $x_1 \le [/mm] ... [mm] \le x_8$ [/mm] bezeichnen und der Größe nach ordnen sollst. Mach das mal.
Für die empirische Verteilungsfunktion gilt (bei dir sind es n = 8 Elemente in der Stichprobe)
[mm] $F_{n}(x_i) [/mm] = [mm] \frac{Anzahl der beobachteten Werte in der Stichprobe \le x_i}{n}$
[/mm]
Diese 8 Werte kannst du mal berechnen!
Für den Test muss nun
[mm] $\max_{i = 1,...,n}(|F_n(x_i) [/mm] - [mm] F(x_i)|, |F_n(x_{i-1}) [/mm] - [mm] F(x_i)|)$
[/mm]
berechnet werden (das gilt nur, weil $F$ stetig ist). Was kommt da raus?
-----
Für Maximum Likelihood:
Du hast n = 8 Stichprobenwerte, die alle einer $U[0, [mm] \theta]$-Verteilung [/mm] folgen sollen und unabhängig sind.
D.h. du hast [mm] $X_1,...,X_n \sim [/mm] U[0, [mm] \theta]$ [/mm] iid.
Die Likelihood-Funktion ist einfach die gemeinsame Dichte der Zufallsvariablen:
[mm] $f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n) [/mm] = [mm] \prod_{i=1}^{n}f_{X_i}(x_i) [/mm] = [mm] \frac{1}{\theta^{n}}1_{\{\max(x_i) \le \theta\}}$ [/mm]
Du musst nun überlegen, für welches [mm] $\theta$ [/mm] (dieses darf von [mm] x_1,...,x_n [/mm] abhängen) diese Funktion maximal wird.
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:13 Mi 08.05.2013 | | Autor: | melodie |
> Hallo,
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> > Gegeben sind 8 Zufallszahlen aus einer Gleichverteilung auf
> > [0,1]:
> > 0.45, 0.25, 0.60, 0.15, 0.30, 0.40, 0.51, 0.50
> >
> > a) Führen Sie den Test auf dem zweiseitigen 5%-Niveau
> > durch. Verwenden Sie dazu den
> > Kolmogorov-Smirnov-Anpassungstest.
> > b)Bestimmen Sie näherungsweise den p-Wert des Testes.
> > c) Geben sie einen Maximum Likelihood-Schätzer
> > [mm]\hat\theta*[/mm] für den Parameter [mm]\theta[/mm] einer [mm][0,\theta][/mm]
> > Gleichverteilung für die obige Stichprobe vom Umfang 8.
> > Führen Sie jetzt den Test wie in a9 hinsichtlich der
> > Gleichverteilung [mm][0,\theta*][/mm] durch.
> > da ich hier eine Gleichverteilung habe, konnte ich
> schon
> > mal [mm]\mu= \bruch{1}{2}[/mm] und [mm]\sigma^{2}=\bruch{1}{12}[/mm]
>
> > ich, weiss nicht wie man einen Smirnov-Anpassungstest
> > macht. Könnte mir jemand den Smirnov und Maximum
> > Likelihood so erklären, dass ich das Wissen dann auch an
> > anderen Aufgaben anwenden kann?
>
> Für Smirnov kannst du dir ja erstmal den Wikipedia-Artikel
> durchlesen:
> K-S-Test.
>
> Für die Durchführung des Tests brauchst du zunächst die
> Verteilungsfunktion.
> Du hast eine Gleichverteilung auf [0,1], was ist da die
> Verteilungfunktion [mm]F_0(x)[/mm] (x [mm]\in[/mm] [0,1] ) ?
>
>
> Nun geht es um die empirische Verteilungsfunktion.
> Dazu brauchst du deine beobachteten Werte, die du mit [mm]x_1 \le ... \le x_8[/mm]
> bezeichnen und der Größe nach ordnen sollst. Mach das
> mal.
> Für die empirische Verteilungsfunktion gilt (bei dir sind
> es n = 8 Elemente in der Stichprobe)
>
> [mm]F_{n}(x_i) = \frac{Anzahl der beobachteten Werte in der Stichprobe \le x_i}{n}[/mm]
>
> Diese 8 Werte kannst du mal berechnen!
> Für den Test muss nun
>
> [mm]\max_{i = 1,...,n}(|F_n(x_i) - F(x_i)|, |F_n(x_{i-1}) - F(x_i)|)[/mm]
>
> berechnet werden (das gilt nur, weil [mm]F[/mm] stetig ist). Was
> kommt da raus?
>
also ich habe es mal versucht und [mm] \max_ (|F_n(x_i) [/mm] - [mm] F(x_i)|, |F_n(x_{i-1}) [/mm] - [mm] F(x_i)|)=(|0,4)|,|0,275|) [/mm] für x= 0,6
das heisst, ich habe den grössten Abstand 0,4 für x= 0,6?
und aus der Tabelle mit kritischen Grenzen habe ich 0,454 für n=8 und [mm] \alpha= [/mm] 0,05 abgelesen. Was kann jetzt als Ergebnis des Tests sagen?
> -----
>
> Für Maximum Likelihood:
>
> Du hast n = 8 Stichprobenwerte, die alle einer [mm]U[0, \theta][/mm]-Verteilung
> folgen sollen und unabhängig sind.
> D.h. du hast [mm]X_1,...,X_n \sim U[0, \theta][/mm] iid.
> Die Likelihood-Funktion ist einfach die gemeinsame Dichte
> der Zufallsvariablen:
>
> [mm]f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n) = \prod_{i=1}^{n}f_{X_i}(x_i) = \frac{1}{\theta^{n}}1_{\{\max(x_i) \le \theta\}}[/mm]
>
> Du musst nun überlegen, für welches [mm]\theta[/mm] (dieses darf
> von [mm]x_1,...,x_n[/mm] abhängen) diese Funktion maximal wird.
>
>
> Viele Grüße,
> Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Fr 10.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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