Kohärenter Zustand < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:54 Mi 06.05.2015 | | Autor: | waruna |
| Aufgabe | Zeige, dass es gilt:
[mm] \langle \tilde{z}|\Psi \rangle =|\Phi(C(\tilde{z}))\rangle
[/mm]
Wenn es gilt:
| [mm] \Psi \rangle [/mm] = [mm] \int\frac{d\Re(z)d\Im(z)}{\pi} e^{-|z|^2} |\Phi(C(z))\rangle \times |z\rangle [/mm] ;
[mm] \langle \tilde{z} ||z\rangle=e^{z C(\tilde{z})}
[/mm]
wenn C(z) - Komplexkonjugierte zu z bedeutet |
Wenn ich ein Zusammenhang zwischen Kohärenten zuständen und n-Basis [mm] (a^+a|n\rangle =n|n\rangle) [/mm] benutze:
[mm] |z\rangle [/mm] = [mm] e^{z a^+}|0\rangle [/mm] komme ich auf:
[mm] \langle \tilde{z}|\Psi \rangle [/mm] = [mm] \int\frac{d\Re(z)d\Im(z)}{\pi} e^{-|z|^2+zC(\tilde{z})} |\Phi(C(z))\rangle
[/mm]
Ich habe dann einen Eindruck, dass man soll z-variable wegintegrieren [mm] (|\Phi(C(z))\rangle [/mm] hängt nur von C(z) ab), dann soll delta funktion in [mm] (C(z)-C(\tilde{z})) [/mm] entstehen und bekommen wir gesuchtes Ergebniss. z ist aber komplex (wie integrieren?), weil z kein Form [mm] z=i\omega [/mm] hat sehe ich auch nicht, wie sollte sich Integration über z delta-Funktion ergeben...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:37 Do 07.05.2015 | | Autor: | Kroni |
Hallo waruna,
leider verstehe ich Deine Aufgabe nicht ganz: Wenn ich Deine Schreibweise korrekt verstehe, ist der Ausdruck auf der linken Seite doch ein Skalarprodukt - das Ergebnis ist also eine (komplexe) Zahl.
Auf der rechten Seite Deiner Gleichung steht aber ein "Ket", dh ein Vektor im Hilbertraum. Das passt aber nicht zusammen.
Bzgl. Deiner Frage, wie man über $z$ integrieren kann: Das Integral steht ja dort schon als Integral über den Real- und Imaginärteil der komplexen Zahl $z$. Also kannst Du einfach $z=a+ib$ schreiben, einsetzen und anschließend über
[mm] $\mathcal{R}(z) [/mm] = a$ und [mm] $\mathcal{I}(z) [/mm] = b$ integrieren.
LG
Kroni
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:28 Do 07.05.2015 | | Autor: | waruna |
Ja, hast Du recht, habe ich schon oben korrigiert.
Sowohl rechte als auch linke Seite der Gleichung ist ein Vektor im Hilbertraum, wo [mm] |\Phi(C(z))\rangle [/mm] lebt.
Bei der Integration hängt [mm] |\Phi(C(z))\rangle [/mm] sowohl von a als b ab, ist unbekannt.
Ich kann also nicht so einfach a oder b Integration durchführen. Soll ich irgendwie symmetrien benutzen:
[mm] |\Phi(C(z))\rangle=|\Phi(a-ib)\rangle [/mm] - unsymmetrisch gegen vertauschung a [mm] \leftarrow \rightarrow [/mm] ib
[mm] e^{-|z|^2+zC(\tilde{z})}=e^{-a^2-b^2+aC(\tilde{z})+ibC(\tilde{z})} [/mm] - weder symmetrisch noch unsymmetrisch gegen vertauschung a [mm] \leftarrow \rightarrow [/mm] ib
...
?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:23 Fr 08.05.2015 | | Autor: | Kroni |
Hallo,
leider verstehe ich immer noch nicht ganz genau, wie Deine Aufgabe definiert ist.
Was sind denn die Zustände [mm] $|\tilde z\rangle$ [/mm] und [mm] $|z\rangle$? [/mm] Sind das kohärente Zustände mit [mm] $\hat [/mm] a [mm] |\tilde z\rangle [/mm] = [mm] \tilde [/mm] z [mm] |\tilde [/mm] z [mm] \rangle$?
[/mm]
Des Weiteren ist dein Ket [mm] $|\Psi\rangle$ [/mm] ja ein Produkt-Zustand. Worauf wirkt denn dann das Skalarprodukt [mm] $\langle \tilde [/mm] z | [mm] \Phi\rangle$, [/mm] d.h. ist hiermit gemeint, dass man das Skalarprodukt [mm] $\langle \tilde [/mm] z | z [mm] \rangle$ [/mm] berechnet oder [mm] $\langle \tilde [/mm] z | [mm] \Phi \rangle$?!
[/mm]
Zudem möchte ich noch gerne wissen, ob das Skalarprodukt
[mm] $\langle \tilde [/mm] z | z [mm] \rangle [/mm] = [mm] e^{z \tilde z^*}$
[/mm]
so definiert wurde?
Weil, wenn die beiden Zustände kohärente Zustände wären, müsste doch gelten
[mm] $\langle \tilde [/mm] z | z [mm] \rangle [/mm] = [mm] e^{-(|\tilde z|^2 + |z|^2 - 2 \tilde z^* z)/2}$ [/mm] mit [mm] $\tilde [/mm] z^*$ dem komplex konj. zu [mm] $\tilde [/mm] z$?
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:39 Mo 11.05.2015 | | Autor: | waruna |
Hallo,
die Zustände [mm] |z\rangle [/mm] um die sich hier handelt sind sogenannte Bargmann coherent states, wenn [mm] ||z\rangle [/mm] - kohärenter Zustand, dann:
[mm] |z\rangle :=e^{|z|^2/2}||z\rangle [/mm] = [mm] e^{z a^+}||0\rangle,
[/mm]
wobei [mm] |z\rangle [/mm] ist Bergmann kohärenter Zustand.
Daraus ergibt sich [mm] \langle \tilde{z}|z\rangle, [/mm] die ich früher angegeben habe.
[mm] \langle \tilde{ z} [/mm] | [mm] \Phi \rangle [/mm] - das gibt es nicht, [mm] \tilde{z} [/mm] und [mm] \Phi [/mm] leben in anderen Hilberträumen, meinst du vielleicht:
[mm] \langle \tilde{z} [/mm] | [mm] \Psi \rangle [/mm] ?
[mm] \langle \tilde{z} [/mm] | [mm] \Psi \rangle [/mm] = [mm] \int\frac{d\Re(z)d\Im(z)}{\pi} e^{-|z|^2} |\Phi(C(z))\rangle \times \langle \tilde{z}| |z\rangle= \int\frac{d\Re(z)d\Im(z)}{\pi} e^{-|z|^2+zC(\tilde{z})} |\Phi(C(z))\rangle
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:28 Mo 11.05.2015 | | Autor: | Kroni |
Hallo,
vielen Dank für Deine weiteren Kommentare.
Wenn ich mir dann also den Ausdruck
[mm]\langle \tilde z | \psi \rangle = \int \frac{\mathrm d\, \mathrm{Re}z\, \mathrm d\, \mathrm{Im}z}{\pi}\,e^{-|z|^2+\tilde z z}|\Phi(\bar z)\rangle[/mm]
mit [mm]\bar z = \text{ComplexConj}(z)[/mm] ansehe, ist es aus meiner Sicht gerade im allgemeinen Fall (dh ohne weitere Einschränkungen) nicht ganz klar, wie man auf [mm]|\Phi(\bar{\tilde z})\rangle[/mm] kommt.
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:44 Mo 11.05.2015 | | Autor: | waruna |
[mm] |\Phi(C(z))\rangle [/mm] is so, so dass
[mm] \langle \tilde{z}|\Psi \rangle [/mm] = [mm] \int\frac{d\Re(z)d\Im(z)}{\pi} e^{-|z|^2} |\Phi(C(z))\rangle \times |z\rangle [/mm]
erfüllt ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Fr 22.05.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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