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Körpervolumen Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:30 Fr 21.03.2014
Autor: bquadrat

Aufgabe
Berechnen Sie das Volumen des Körpers J, der durch das Paraboloid [mm] z=x^{2}+y^{2} [/mm] und den Zylinder [mm] x^2+y^2=4 [/mm] begrenzt wird. Verwenden Sie dazu Dreifachintegrale und geeignete Koordinaten.

Ich kann mir leider gar nichts unter diesem Körper vorstellen und weiß nicht, wie ich die Grenzen für die Integrale bestimme. Kann mir bitte jemand weiterhelfen?

Mit Dank im Voraus

[mm] b^{2} [/mm]

        
Bezug
Körpervolumen Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:41 Fr 21.03.2014
Autor: chrisno

Zuerst mal den Zylinder. [mm] $x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = 4$. Was für ein geometrisches Objekt wird da beschrieben?

Bezug
                
Bezug
Körpervolumen Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:42 Fr 21.03.2014
Autor: bquadrat

Das dürfte wohl ein Kreis mit dem Radius r=2 sein

Bezug
                        
Bezug
Körpervolumen Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:44 Fr 21.03.2014
Autor: bquadrat

Das dürfte wohl ein Kreis mit dem Radius r=2 sein

Bezug
                                
Bezug
Körpervolumen Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:02 Fr 21.03.2014
Autor: chrisno

gut, nur steht da ja "Zylinder" aber nichts von der z-Koordinate. Was folgt daraus?

Bezug
                                        
Bezug
Körpervolumen Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:19 Fr 21.03.2014
Autor: bquadrat

Hmmm okay also dann würde ich sagen es handelt sich um ein Kugelsegment mit [mm] \phi\in[0;2\pi] [/mm] , [mm] r\in[0;2] [/mm] , [mm] z\in[0;r^{2}] [/mm] da [mm] x^{2}+y^{2}=r^2 [/mm] sind. Da Zylinderkoordinaten verwendet werden, kommt in das Integral die Jacobideterminante r hinzu und das ganze sieht so aus:

[mm] \integral{\integral_{J}{\integral{dV}}}=\integral_{0}^{2\pi}{\integral_{0}^{2}{\integral_{0}^{r^{2}}{r dz}dr}d\phi}=8\pi [/mm]

Könnte das so stimmen?

Bezug
                                                
Bezug
Körpervolumen Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:33 Fr 21.03.2014
Autor: chrisno

Da liegst Du falsch. Zu der Menge gehören alle Punkte, für die [mm] $x^2+y^2=4$ [/mm] gilt. Für z = 0 ist es der Kreis in der x-y-Ebene. Für z = 1 ist es der Kreis der genau um 1 in z-Richtung verschoben ist. Da nun z beliebig ist, wird der Kreis in z- Richtung nach oben und unten geschoben und so entsteht der unendlich lange Zylinder.

Derzeit ist es noch nicht angebracht, über Integrale nachzudenken.

Nun das Paraboloid. [mm] $x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = z$. Gehe genau wie ich Eben bei dem Zylinder vor. Wähle z = 0, $z = [mm] \pm [/mm] 1$ ... und beschreibe welche Figur so entsteht.

Ich bin nun offline.

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