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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:30 Mi 06.04.2005 | | Autor: | lucky_A. |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[mm] M={0,1,z}\subset\IC [/mm] , [mm] z\in\IR^{+}
[/mm]
Jetzt ist die Frage: warum läßt sich [mm] \wurzel[5]{z} [/mm] nicht immer aus M konstruieren?
Ich habe mir folgendes dazu überlegt:
Die Nullstelle von [mm] x^{5}-z [/mm] ist ja [mm] \wurzel[5]{z}.
[/mm]
Weiterhin gibt es so einen Satz, der besagt:
z ist konstruierbar genau dann wenn es eine Körpererweiterung [mm] \IQ(M \cup \overline{M})= K_{0} \subseteq....... \subseteq K_{n} [/mm] gibt mit [ [mm] K_{l+1}: K_{l}]=2 [/mm] und z [mm] \in K_{n}.
[/mm]
Wenn sich nun dieses Polynom [mm] x^{5}-z [/mm] nicht zerlegen läßt, dann ist [ [mm] \IQ[\wurzel[5]{z}]: \IQ]=5 [/mm] eine Primzahl, dh diese Körpererweiterung hat keine Zwischenkörper und somit folgt aus dem Satz von oben, dass [mm] \wurzel[5]{z} [/mm] sich nicht konstruieren läßt.
Wenn aber z jetzt so gewählt wird, dass das Polynom sich zerlegen läßt, und man Zwischenräume finden kann, so dass die Bed. aus dem Satz erfüllt ist, dass man dann [mm] \wurzel[5]{z} [/mm] konstruieren kann.
Ist es so richtig?
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, allerdings vor neun Jahren...
