Körpererweiterungen Beweise < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:45 Mi 26.01.2005 | | Autor: | Phlipper |
Man zeige für die Körpererweiterungen K|L mit dem über L algebraischen Element
z [mm] \in [/mm] K, daß
(a) das Minimalpolynom [mm] f_{z} [/mm] von z über L irreduzibel ist und
(b) daß der von z erzeugte Körper L(z) über L isomorph zu dem Faktorring
L[x]faktorisiert nach [mm] f_{z} [/mm] ist.
a) habe ich so,dass f(x) = p(x*(q(x), also angenommen,dass es irreduziebel sei, dann folt für f(a) = a = p(a)*q(a), dass q(a) = 0 oder p(a) = 0, also wäre f nicht minimal.
Ist das so korrekt ?
b) da würde ich mich über Hilfe freuen.
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:23 Fr 28.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi
nur ganz kurz ein paar hinweise:
zu (a). wenn man von diversen tippfehlern absieht müsste das so gehen - erwähnen sollte man vielleicht noch, dass man benötigt, dass körper keine nullteiler haben.
zu (b). betrachte den einsetzungskomomorphismus:
[m] \begin{array}{cccr}\varphi_z: & L[X] & \longrightarrow & L[z] \\ & f & \longmapsto & f(z) \end{array} [/m].
überlege dir, was der kern ist und das daraus folgt, dass $L[z]$ ein körper ist, der isomorph zu $L[X]/(f)$ ist - was dann direkt aus dem isomorphiesatz folgt.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:43 So 30.01.2005 | | Autor: | Phlipper |
Danke für die Hilfe und sorry für die Tippfehler.
Aber bei b) habe ich meine Probleme, also L ist ja schon nach Voraussetzung ein Körper, der durch z erweitert wird. Und dieser Körper soll isomorph zu der Faktorisierung von L[x] nach [mm] f_{z} [/mm] sein. Wie soll ich darauf kommen,welche Elemente auf die Nulll abbilden ? Wäre noch dankbar für einen Zusatztipp.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:15 So 30.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi
> Aber bei b) habe ich meine Probleme, also L ist ja schon
> nach Voraussetzung ein Körper, der durch z erweitert wird.
> Und dieser Körper soll isomorph zu der Faktorisierung von
> L[x] nach [mm]f_{z}[/mm] sein. Wie soll ich darauf kommen,welche
> Elemente auf die Nulll abbilden ?
auf die null wrden ja gerade die elemente [m] g \in L[X] [/m] abgebildet, für die gilt $g(z) = 0$, die also die nullstelle $z$ haben. nun überlege dir warum das genau die vielfachen von [mm] $f_z$ [/mm] sind, das hängt damit zusammen, dass [mm] $f_z$ [/mm] das minimalpolynom zu $z$ ist.
danach wende einfach den isomorphiesatz für ringe an, die in meinem letzten post angegeben abbildung ist ja nach konstruktion surjektiv (mach dir das klar)!
grüße
andreas
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 19:27 Di 01.02.2005 | | Autor: | Phlipper |
Wie würde denn die Abbildung [mm] \kappa [/mm] lauten, die L(z) nach L[x] faktorisiert nach [mm] f_{z} [/mm] abbildet. In meinem Homomorphiesatz steht, dass diese Abbildung kanonisch folgt. Das wäre nett von dir !
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:29 Di 01.02.2005 | | Autor: | Phlipper |
Habe versucht Surjektivtät zu zeigen, ist mir aber nicht gelungen,kannst du mir bitte nur den Ansatz geben,will es dann allein versuchen. Danke.
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