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| Aufgabe | | Seien m,n [mm] \in [/mm] Z keine Quadrate in [mm] \IZ. [/mm] Zeigen Sie: Sin die Körpererweiterungen [mm] \IQ(\wurzel{m}) [/mm] und [mm] \IQ(\wurzel{n}) [/mm] isomorph, dann ist m=n. |
Hallo!
Wie gehe ich bei dieser Aufgabe vor? Ich habe überhaupt keine Ahnung wie ich die machen muss, da ich lange nun krank war und in der Uni ausgefallen bin,... Vielleicht kann mir jemand helfen, wäre sehr dankebar!
mfG Susi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:14 Fr 05.01.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Susi!
> Seien m,n [mm]\in[/mm] Z keine Quadrate in [mm]\IZ.[/mm] Zeigen Sie: Sin die
> Körpererweiterungen [mm]\IQ(\wurzel{m})[/mm] und [mm]\IQ(\wurzel{n})[/mm]
> isomorph, dann ist m=n.
In dieser Form ist die Behauptung falsch! Nimm z. B. m = 8 und n = 2. Gemeint ist wahrscheinlich 'm und n quadratfrei'.
Ein Beweisansatz folgt ...
Hier ist er:
Für einen Isomorphismus [mm] \phi [/mm] wäre ja
[mm] \phi(\wurzel{m}) [/mm] = a + [mm] b\wurzel{n}
[/mm]
und damit m = [mm] \phi(m) [/mm] = [mm] a^{2} [/mm] + [mm] 2ab\wurzel{n} [/mm] + [mm] nb^{2}
[/mm]
Das kann aber nur sein, wenn a = 0 und b = 1 ist.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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