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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:01 Mi 22.09.2010 | | Autor: | Amande |
Hey zusammen,
wir haben uns Gedanken zu den Zwischenkörpern der Körpererweiterung [mm]\IQ(\zeta _5):\IQ[/mm] gemacht, wobei [mm]\zeta _n[/mm] eine primitive n-te Einheitswurzel ist.
Die Galoisgruppe G der Körpererweiterung ist isomorph zu ([mm]\IZ /n\IZ[/mm])*.
Das liefert uns zumindest mal die Anzahl der Zwischenkörper.
Wir haben versucht, die Zwischenkörper für [mm]\IQ(\zeta _5):\IQ[/mm] zu bestimmen.
([mm]\IZ /5\IZ[/mm])*={1,2,3,4} und es gibt außer den trivialen Untergruppen noch die Untergruppe {1,4}.
Diese ist dann zu einer Untergruppe H der Galoisgruppe G isomorph.
Mit dem Hauptsatz der Galoistheorie wissen wir dann, dass wir in [mm]\IQ(\zeta _5):\IQ[/mm] einen Zwischenkörper L mit  mm]\IQ(\zeta _5)[/mm]:L]=[L:[mm]\IQ[/mm=2 haben.
Unsere Frage war nun, ob wir diesen Zwischenkörper noch irgendwie genauer angeben können.
Ist das möglich?
Danke schonmal im voraus!
Mandy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:22 Mi 22.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Mandy!
> wir haben uns Gedanken zu den Zwischenkörpern der
> Körpererweiterung [mm]\IQ(\zeta _5):\IQ[/mm] gemacht, wobei [mm]\zeta _n[/mm]
> eine primitive n-te Einheitswurzel ist.
>
> Die Galoisgruppe G der Körpererweiterung ist isomorph zu
> ([mm]\IZ /n\IZ[/mm])*.
> Das liefert uns zumindest mal die Anzahl der
> Zwischenkörper.
Indem man die Anzahl der Untergruppen bestimmt, ja.
> Wir haben versucht, die Zwischenkörper für [mm]\IQ(\zeta _5):\IQ[/mm]
> zu bestimmen.
> ([mm]\IZ /5\IZ[/mm])*={1,2,3,4} und es gibt außer den trivialen
> Untergruppen noch die Untergruppe {1,4}.
> Diese ist dann zu einer Untergruppe H der Galoisgruppe G
> isomorph.
Genau.
> Mit dem Hauptsatz der Galoistheorie wissen wir dann, dass
> wir in [mm]\IQ(\zeta _5):\IQ[/mm] einen Zwischenkörper L mit
> mm]\IQ(\zeta _5)[/mm]:L]=[L:[mm]\IQ[/mm=2 haben.
> Unsere Frage war nun, ob wir diesen Zwischenkörper noch
> irgendwie genauer angeben können.
> Ist das möglich?
Nun, zum Element 4 gehoert der Automorphismus [mm] $\phi [/mm] : [mm] \IQ(\zeta_5) \to \IQ(\zeta_5)$, $\zeta_5 \mapsto \zeta_5^4 [/mm] = [mm] \zeta_5^{-1}$. [/mm] Zu 1 gehoert die Identitaet.
$L$ ist nun der Fixkoerper von [mm] $\phi$ [/mm] (und der Identitaet, aber die kann man ignorieren), du suchst also alle Elemente $x [mm] \in \IQ(\zeta_5)$ [/mm] mit [mm] $\phi(x) [/mm] = x$. Jedes Element $x$ kannst du als $x = [mm] \sum_{i=0}^3 x_i \zeta_5^i$ [/mm] schreiben mit [mm] $x_i \in \IQ$, [/mm] und es gilt [mm] $\zeta_5^4 [/mm] = [mm] -\zeta_5^3 [/mm] - [mm] \zeta_5^2 [/mm] - [mm] \zeta_5 [/mm] - 1$ Ausdurck in $1, [mm] \dots, \zeta_5^3$ [/mm] und [mm] $\zeta_5^5 [/mm] = 1$.
Damit ist [mm] $\phi(x) [/mm] = [mm] \sum_{i=0}^3 x_i \zeta_5^{-i} [/mm] = [mm] x_0 [/mm] + [mm] x_1 \zeta_5^{-1} [/mm] + [mm] x_2 \zeta_5^{-2} [/mm] + [mm] x_3 \zeta_5^{-3} [/mm] = [mm] x_0 [/mm] + [mm] x_1 \zeta_5^4 [/mm] + [mm] x_2 \zeta_5^3 [/mm] + [mm] x_3 \zeta_5^2 [/mm] = [mm] x_0 [/mm] - [mm] x_1 [/mm] (1 + [mm] \zeta_5 [/mm] + [mm] \zeta_5^2 [/mm] + [mm] \zeta_5^3) [/mm] + [mm] x_2 \zeta_5^3 [/mm] + [mm] x_3 \zeta_5^2 [/mm] = [mm] (x_0 [/mm] - [mm] x_1) [/mm] + [mm] (-x_1) \zeta_5 [/mm] + [mm] (x_3 [/mm] - [mm] x_1) \zeta_5^2 [/mm] + [mm] (x_2 [/mm] - [mm] x_1) \zeta_5^3$ [/mm] (wenn ich mich nicht verrechnet habe).
Damit dies gleich $x$ ist, muss gelten:
* [mm] $x_0 [/mm] = [mm] x_0 [/mm] - [mm] x_1$;
[/mm]
* [mm] $x_1 [/mm] = [mm] -x_1$;
[/mm]
* [mm] $x_3 [/mm] - [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2$;
[/mm]
* [mm] $x_2 [/mm] - [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_3$.
[/mm]
Das ist aequivalent zu:
* [mm] $x_1 [/mm] = 0$;
* [mm] $x_2 [/mm] = [mm] x_3$.
[/mm]
Es ist also $L = [mm] \{ a + b (\zeta_5 + \zeta_5^3) \mid a, b \in \IQ \}$. [/mm] Das kannst du jetzt auch einfach schoener hinschreiben :)
LG Felix
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