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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:23 Mi 07.07.2010 | | Autor: | makw |
| Aufgabe | Geben ist: [mm] \IQ(\varepsilon_{n})\cap \IQ(\varepsilon_{m}) =\IQ, [/mm] wobei [mm] \varepsilon_{n},\varepsilon_{m} [/mm] primitive nte bzw. mte Einheitswurzel ist.
Zeige: [mm] \IQ(\varepsilon_{n})\cdot \IQ(\varepsilon_{m})=\IQ(\varepsilon_{nm}) [/mm] |
Ok, ich weis ich muss die Basis des Kompositum betrachten und mit die jeweiligen Elemente ansehen? Aber wie kann ich das nun Formal machen und wie muss ich dabei vorgehen?
Vielen im Vorraus. MFG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:04 Do 08.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin.
> Geben ist: [mm]\IQ(\varepsilon_{n})\cap \IQ(\varepsilon_{m}) =\IQ,[/mm]
> wobei [mm]\varepsilon_{n},\varepsilon_{m}[/mm] primitive nte bzw.
> mte Einheitswurzel ist.
Ich vermute, da hast du ein kleines, aber verdammt wichtiges Detail vergessen: $n$ und $m$ muessen teilerfremd sein!
> Zeige: [mm]\IQ(\varepsilon_{n})\cdot \IQ(\varepsilon_{m})=\IQ(\varepsilon_{nm})[/mm]
>
> Ok, ich weis ich muss die Basis des Kompositum betrachten
> und mit die jeweiligen Elemente ansehen? Aber wie kann ich
> das nun Formal machen und wie muss ich dabei vorgehen?
Bestimme die Ordnung von [mm] $\varepsilon_n \varepsilon_m$. [/mm] Zeige, dass dies eine $nm$-te primitive Einheitswurzel ist. Zeige weiterhin, dass du [mm] $\varepsilon_n$ [/mm] und [mm] $\varepsilon_m$ [/mm] aus [mm] $\varepsilon_{n m}$ [/mm] wiederherstellen kannst.
Daraus folgt dann, dass [mm] $\IQ(\varepsilon_n, \varepsilon_m) [/mm] = [mm] \IQ(\varepsilon_{nm})$ [/mm] ist.
LG Felix
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