Körperberechnung < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:29 Do 31.03.2005 | | Autor: | Kendra |
In der zu lösenden Aufgabe habe ich einen Zylinder mit dem Radius r und der Höhe h, aus dem ein Kegel, mit der Spitze nach unten herausgeschnitten ist.
Nun soll ich den Rauminhalt des "Restkörpers" angeben.
Die zweite Aufgabenstellung lautet: Die Höhe h betrage nunmehr gerade r. Wie hoch muss ein zu einer Kugel vom Radius r gehöriger Kugelabschnitt sein, damit er den gleichen Rauminhalt besitzt?
Mein Rechenweg sieht bis jetzt folgendermaßen aus:
V(Zylinder)= G*h=pi*r²*h
V(Kegel)=1/3G*h=1/3pi*r²*h
V(Zylinder)-V(Kegel)=pi*r²*h-1/3pi*r²*h
V(Rest)=2/3pi*r³
Dies wäre dann der Rauminhalt des Restkörpers.
Nun im zweiten Aufgabenteil folgendes:
2/3pi*r³-1/3pi*h²*(3r-h)
Stimmt das soweit, oder habe da etwas übersehen? Und wie rechne ich nun weiter?
lg
Kendra
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:59 Do 31.03.2005 | | Autor: | spooky |
Also, bei der ersten Aufgabe lautet die richtige Formel:
V(Rest)=2/3phi*r²*h
Und bei der zweiten Aufgabe musst du die beiden Volumina (Restkörper und Kugelabschnitt) gleichsetzten.
2/3phi*r³=1/3phi*h²*(3r-h)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:36 Fr 01.04.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Kendra
> Die zweite Aufgabenstellung lautet: Die Höhe h betrage
> nunmehr gerade r. Wie hoch muss ein zu einer Kugel vom
> Radius r gehöriger Kugelabschnitt sein, damit er den
> gleichen Rauminhalt besitzt?
>
> Mein Rechenweg sieht bis jetzt folgendermaßen aus:
>
> V(Zylinder)= G*h=pi*r²*h
> V(Kegel)=1/3G*h=1/3pi*r²*h
> V(Zylinder)-V(Kegel)=pi*r²*h-1/3pi*r²*h
> [mm] V(Rest)=2/3pi*r^{3} [/mm]
so nur richtig mit r=h sonst [mm] V(Rest)=2/3pi*r^{2} [/mm] *h
>
> Dies wäre dann der Rauminhalt des Restkörpers.
> Nun im zweiten Aufgabenteil folgendes:
>
> 2/3pi*r³-1/3pi*h²*(3r-h)
>
> Stimmt das soweit, oder habe da etwas übersehen? Und wie
> rechne ich nun weiter?
Ganz einfach: Gleich groß heisst Differenz ist Null! also 2/3pi*r³-1/3pi*h²*(3r-h)=0
und daraus h
Es sollte aber noch schneller gehen ,wenn du siehst dass 2/3pi*r³ Die Hälfze des Kugelvolumens ist.
Diese Entdeckung hat schon Archimedes gemacht, aber auf einem anderen Weg:
Er hat festgestellt, dass wenn man den Kegek mit der Spitze nach unten in den Zylinder stellt, und daneben eine Halbkugel malt (Rundung oben) dann hat das Gebilde Zylinder-Kegel auf jeder Höhe dieselbe
Querschnittsfläche und deshalb sind die Volumina gleich! So kam er aus den einfachen Vol von Zylinder und Kegel auf das Volumen der Kugel: Deshalb soll diese Figur auf seinem Grabstein sein! Du hast also was tolles rausgefunden! (Woher kennt ihr das Volumen der Kugel?)
Viel Spass
leduart
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