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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:55 Mi 03.11.2010 | | Autor: | Poppel |
| Aufgabe | Betrachte die Körperaxiome
(Add) Addition
(1) [mm] (\forall [/mm] a,b [mm] \in \IK): [/mm] a+b=b+a (Kommutativgesetz).
(2) [mm] (\forall [/mm] a,b,c [mm] \in \IK): [/mm] a+(b+c)=(a+b)+c (Assoziativgesetz)
(3) [mm] (\exists [/mm] 0 [mm] \in \IK): (\forall [/mm] a [mm] \in \IK) [/mm] 0+a=a (Neutrales Element oder Null)
(4) [mm] (\forall [/mm] a [mm] \in \IK): (\exists [/mm] b [mm] \in \IK) [/mm] a+b=0 (Additives Inverses Element oder Negatives von a)
Zeigen Sie, dass die beiden Axiome [mm] (Add)_{(3)} [/mm] und [mm] (Add)_{(4)} [/mm] gemeinsam ersetzt werden können durch das Axiom
[mm] (Add)_{(3')} (\forall [/mm] a,b [mm] \in \IK)(\exists [/mm] x [mm] \in \IK): [/mm] a+x=b (Lösbarkeit)
Zeigen Sie hierzu, dass die Forderung von [mm] (Add)_{(1)-(4)} [/mm] gleichbedeutend ist mit der Forderung von [mm] (Add)_{(1),(2),(3')}. [/mm] |
Hallo erstmal,
dies hier ist mein erster Beitrag.
Also ich weiß nicht ob mein Ansatz in die richtige Richtung geht. Ich würde hier eine Fallunterscheidung für [mm] (Add)_{(3')} [/mm] betrachten.
Fall 1 (a=b): a+x=a [mm] \Rightarrow [/mm] Gefordert: [mm] (\exists x_0 \in \IK)(\forall [/mm] a [mm] \in \IK): a+x_0=a [/mm] (Neutrales Element)
Fall 2 (b=0): a+x=0 [mm] \Rightarrow [/mm] Gefordert: [mm] (\forall [/mm] a [mm] \in \IK)(\exists x_i \in \IK): a+x_i=0 [/mm] (Inverses Element)
[mm] (Add)_{(1),(2)} [/mm] ändern sich ja ohnehin nicht.
Geht das in die richtige Richtung, oder bin ich völlig auf dem Holzweg?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:18 Fr 05.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
deine Idee geht tatsächlich in die richtige Richtung, ich würde es allerdings nicht Fallunterscheidung nennen, sondern es sind ja zwei Dinge zu zeigen, nämlich
[mm] (Add)_{(1),(2),(3')} \Rightarrow (Add)_{(3)} [/mm] und [mm] (Add)_{(1),(2),(3')} \Rightarrow (Add)_{(4)}.
[/mm]
Dein "Fall 1" ist der Anfang von [mm] (Add)_{(3)}. [/mm]
a+x=a hat eine Lösung, nennen wir sie [mm] a_0. [/mm] Du musst jetzt zeigen, dass dieses [mm] a_0 [/mm] nicht nur eine Privat-Null von a ist, sondern eine globale Null, dass also für alle x [mm] \in [/mm] K die Gleichung [mm] a_0+x [/mm] = x gilt.
Dein "Fall 2" zeigt [mm] (Add)_{(4)}.
[/mm]
Wenn das alles geschafft ist, ist noch die Umkehrung [mm] (Add)_{(1)-(4)} \Rightarrow (Add)_{(1),(2),(3')} [/mm] zu zeigen.
Gruß Sax.
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