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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:44 Di 16.12.2008 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Sei K eine endliche Menge mit zwei Verknüpfungen "+" und "*", welche den Körperaxiomen genügen, wobei jedoch die Existenz eines multiplikativen Inversen ersetzt wird durch:
Für a,b [mm] \in [/mm] K-{0} [mm] \Rightarrow [/mm] ab [mm] \in [/mm] K-{0}
Man zeige, dass K ein Körper ist. |
Wahrscheinlich stehe ich hier einfach nur völlig auf dem Schauch.
Ich muss ja zeigen, dass für alle a [mm] \in [/mm] K-{0} ein multiplikatives Inverses existiert.
Aber wie?
Wenn mir hier jemand einen Anstoß geben könnte wäre ich Dankbar.
Gruß Zerwas
Ich habe diese Frage auf keinem anderen Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:29 Di 16.12.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> Sei K eine endliche Menge mit zwei Verknüpfungen "+" und
> "*", welche den Körperaxiomen genügen, wobei jedoch die
> Existenz eines multiplikativen Inversen ersetzt wird
> durch:
> Für a,b [mm]\in[/mm] K-{0} [mm]\Rightarrow[/mm] ab [mm]\in[/mm] K-{0}
> Man zeige, dass K ein Körper ist.
> Ich muss ja zeigen, dass für alle a [mm]\in[/mm] K-{0} ein
> multiplikatives Inverses existiert.
>
> Aber wie?
>
> Wenn mir hier jemand einen Anstoß geben könnte wäre ich
Versuch erstmal zu zeigen, daß die Linksmultipliktion mit a eine injektive Abbildung ist.
Und dann überleg dir, warum sie sogar bijektiv ist.
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:11 Di 16.12.2008 | | Autor: | Zerwas |
Okay... fang ich mal mit der Injektivität an:
Zur einfacheren Notation sei K = K-{0}
Das ist ja eigentlich ziemlich trivial:
Sei g: K [mm] \rightarrow [/mm] K : b [mm] \mapsto [/mm] a*b
Dann ist g injektiv, da b,c [mm] \in [/mm] K [mm] b\not=c [/mm] folgt dass a*b [mm] \not= [/mm] a*c (man kann ja einfach a wegkürzen)
Die einzige Zahl für die das nicht gilt wäre a = 0.
Jetzt zur Surjektivität:
Es existiert kein x [mm] \in [/mm] K welches kein Urbild in K unter g besitzt, da ...
hier hänge ich wieder.
Wie soll ich zeigen das g surj. ist?
Es könnte doch sehr gut sein, dass es ein x gibt welches nicht im Bild von g liegt :-/
Sollte es aber nicht... nur warum?
Angenommen es gäbe ein x [mm] \not\in [/mm] G(K)
Sprich [mm] \not\exists [/mm] b [mm] \in [/mm] K mit a*b = x
und jetzt?
Gruß Zerwas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:21 Di 16.12.2008 | | Autor: | statler |
Lies dir mal deine Voraussetzungen genau durch: Es geht um eine endliche Menge. Sonst wär's auch falsch: [mm] \IZ [/mm] ist kein Körper.
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:43 Mi 17.12.2008 | | Autor: | Zerwas |
Autsch natürlich ...
Dann habe ich:
Wenn meine Abbildung injektiv ist muss sie auch surjektiv sein, da jedem Element aus K wieder ein Element aus K zugeordnet werden muss.
Da K endlich ist habe ich dann auch dass g(K) = K
Und damit zilt insbesondere für alle [mm] a\in [/mm] K [mm] \exists b\in [/mm] K mit a*b = 1
also ein multiplikatives Inverses.
So sollte es jetzt passen oder?
Danke und Gruß
Zerwas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:40 Mi 17.12.2008 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Wenn meine Abbildung injektiv ist muss sie auch surjektiv
> sein, da jedem Element aus K wieder ein Element aus K
> zugeordnet werden muss.
> Da K endlich ist habe ich dann auch dass g(K) = K
Hier argumentierst du offenbar aus der Anschauung heraus. Axiomatisch müßtest du sagen, daß K und g(K) wegen der Injektivität gleichmächtig sind, und nur unendliche Mengen gleichmächtige echte Teilmengen haben.
> Und damit zilt insbesondere für alle [mm]a\in[/mm] K [mm]\exists b\in[/mm] K
> mit a*b = 1
> also ein multiplikatives Inverses.
>
> So sollte es jetzt passen oder?
Wenn nicht gerade auf den Bourbaki-Stil Wert gelegt wird, paßt es.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:33 Do 18.12.2008 | | Autor: | dr-oetker |
> Dann ist g injektiv, da b,c [mm]\in[/mm] K [mm]b\not=c[/mm] folgt dass a*b
> [mm]\not=[/mm] a*c (man kann ja einfach a wegkürzen)
Heißt "wegkürzen" in diesem Fall nicht, daß Du von links mit [mm]a^{-1}[/mm] multiplizierst, dessen Existenz hier noch gar nicht nachgewiesen ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:58 Do 18.12.2008 | | Autor: | statler |
Hi, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> > Dann ist g injektiv, da b,c [mm]\in[/mm] K [mm]b\not=c[/mm] folgt dass a*b
> > [mm]\not=[/mm] a*c (man kann ja einfach a wegkürzen)
>
> Heißt "wegkürzen" in diesem Fall nicht, daß Du von links
> mit [mm]a^{-1}[/mm] multiplizierst, dessen Existenz hier noch gar
> nicht nachgewiesen ist?
Nee, das heißt es nicht. Du erhältst ein Produkt der Form a(b-c) = 0, und aus den Voraussetzungen weißt du jetzt, daß ein Faktor = 0 sein muß. Da a es nicht ist, ist es der andere.
In [mm] \IZ [/mm] folgt aus 3*x = 21 = 3*7 auch x = 7, ohne daß (1/3) in [mm] \IZ [/mm] liegt.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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