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| Aufgabe | Bestimmen Sie den Grad der folgenden Erweiterungen und begründen Sie ihre Antworten:
1. [mm] \IQ(\wurzel{5})/\IQ
[/mm]
2. [mm] \IQ(\wurzel{11},\wurzel{17})/\IQ
[/mm]
3. [mm] \IQ(\wurzel[4]{2})/\IQ(\wurzel{2})
[/mm]
4. [mm] \IQ(w)/\IQ [/mm] wobei [mm] w\in\IC [/mm] mit [mm] w^{7}=1, w\not=1. [/mm] |
Hallo!
Es geht erst mal um das allgemeine Verständnis.
Wenn ich [mm] \IQ(\wurzel{5}) [/mm] habe, dann ist dies also definiert als der kleinste Teilkörper von einem Körper L, der [mm] \IQ [/mm] und [mm] \wurzel{5} [/mm] enthält und besteht dann aus allen Elementen von diesem L, die mit endlich vielen Verknüpfungen +,-,*,/ aus den Elementen von [mm] \IQ [/mm] und [mm] \wurzel{5} [/mm] gebildet werden können.
Hier habe ich aber kein L angegeben, ist das egal?
Und wenn ich dann den Grad ausrechnen will, kann ich dies ja mit der Formel für den Index:
|L|=[L:K]|K|
oder?
also: [mm] [\IQ(\wurzel{5}):\IQ]=\bruch{|\IQ(\wurzel{5})|}{|\IQ|}
[/mm]
und wie geht das dann weiter?
Kann mir jemand hier weiter helfen?
Grüßle, Lily
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Hey,
> Hier habe ich aber kein L angegeben, ist das egal?
Wenn man es als Teilkörper eines größeren Körpers nimmt, so nimmt man normalerweise einen algebraischen Abschluss. Hier kannst du also einfach [mm] $L=\IC$ [/mm] nehmen.
> Und wenn ich dann den Grad ausrechnen will, kann ich dies
> ja mit der Formel für den Index:
> |L|=[L:K]|K|
> oder?
Das gilt bei Gruppen, ja. Aber der Index bei Körpererweiterungen ist etwas anders definiert.
Ist $L$ ein Erweiterungskörper von $K$, so definiert man $[L:K] := [mm] dim_K(L)$, [/mm] das heißt wir betrachten $L$ als $K-$Vektorraum und rechnen die Dimension aus.
> also:
> [mm][\IQ(\wurzel{5}):\IQ]=\bruch{|\IQ(\wurzel{5})|}{|\IQ|}[/mm]
> und wie geht das dann weiter?
Gucken wir mal:
Ein Erzeugendensystem (als [mm] $\IQ-$Vektorraum) [/mm] ist [mm] $1,\sqrt{5}$. [/mm] Damit ist [mm] $[\IQ(\wurzel{5}):\IQ] \leq [/mm] 2$. Nun muss die Dimension sogar gleich 2 sein, denn wäre sie 1, so wäre [mm] $\IQ(\sqrt{5}) [/mm] = [mm] \IQ$, [/mm] und wie du sicher weißt ist [mm] $\sqrt{5} \not\in \IQ$, [/mm] also klappt das nicht.
Bei 2. hilft der Gradsatz sehr schön weiter.
Dieser besagt nämlich: Wenn $K [mm] \subseteq [/mm] L [mm] \subseteq [/mm] M$ eine Kette von Körpererweiterungen ist, so gilt $[M:K] = [mm] [M:L]\cdot [/mm] [L:K]$.
Nun setzen wir $K = [mm] \IQ$, [/mm] $L = [mm] \IQ(\sqrt{11})$ [/mm] und $M = [mm] \IQ(\sqrt{11},\sqrt{17})$.
[/mm]
Wie oben ist $[L:K]=2$.
Weiterhin ist $[M:L] [mm] \leq [/mm] 2$ wie oben.
Es bleibt also nur zu gucken, ob [mm] $\sqrt{17} \in [/mm] L$ gilt oder nicht. :)
Solltest du den Gradsatz noch nicht gehabt haben, ist [mm] $1,\sqrt{11},\sqrt{17},\sqrt{11*17}$ [/mm] ein guter Kandidat für eine Basis.
lg
Schadow
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Danke für die Antwort!
Ich fand das alles auch sehr logisch beim Nachvollziehen... und dann habe ich versucht das formal aufzuschreiben. Nun bin ich vollkommen verwirrt.
Und zwar habe ich folgende Definitionen:
[mm] K[\alpha_{1},...,\alpha_{n}]=\{\summe_{i=1}^{n} a_{i} \alpha_{i}^{i_{1}} * ... * \alpha_{n}^{i_{1}} |a_{i}\in K, i_{j}\in \IN\}
[/mm]
[mm] K(\alpha_{1},...,\alpha_{n})=\{\bruch{\beta}{\gamma}|\beta,\gamma \in K[\alpha_{1},...,\alpha_{n}],\gamma \not=0\}
[/mm]
Hiernach müsste [mm] \IQ[\wurzel{5}]=\{a_{1} \wurzel{5}|a_{1} \in \IQ \} [/mm] sein, oder?
Und dann wäre [mm] \IQ(\wurzel{5})=\{\bruch{a \wurzel{5}}{b \wurzel{5}}|a,b \in \IQ \} [/mm] = [mm] \{\bruch{a}{b}|a,b \in \IQ \}
[/mm]
Damit wäre [mm] \IQ(\wurzel{5})=\IQ [/mm] aber ich weiß, dass das nicht sein kann, weil [mm] \wurzel{5} [/mm] nicht in [mm] \IQ [/mm] ist!!
Außerdem hätte ich dann nur 1 Basiselement!
Und ähnlich würde das bei [mm] \IQ(\wurzel{11},\wurzel{17}) [/mm] laufen,
das wäre dann [mm] =\{a_{1}\wurzel{11}\wurzel{17}+a_{2}\wurzel{11}^{2}\wurzel{17}^{2}|a_{1},a_{2} \in \IQ \}
[/mm]
Also: große Verwirrung!
Wo habe ich den Denkfehler??
Kann mir da bitte jemand helfen?
Grüßle, Lily
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:40 Mo 16.12.2013 | | Autor: | hippias |
> Danke für die Antwort!
> Ich fand das alles auch sehr logisch beim
> Nachvollziehen... und dann habe ich versucht das formal
> aufzuschreiben. Nun bin ich vollkommen verwirrt.
> Und zwar habe ich folgende Definitionen:
> [mm]K[\alpha_{1},...,\alpha_{n}]=\{\summe_{i=1}^{n} a_{i} \alpha_{i}^{i_{1}} * ... * \alpha_{n}^{i_{1}} |a_{i}\in K, i_{j}\in \IN\}[/mm]
>
> [mm]K(\alpha_{1},...,\alpha_{n})=\{\bruch{\beta}{\gamma}|\beta,\gamma \in K[\alpha_{1},...,\alpha_{n}],\gamma \not=0\}[/mm]
>
> Hiernach müsste [mm]\IQ[\wurzel{5}]=\{a_{1} \wurzel{5}|a_{1} \in \IQ \}[/mm]
> sein, oder?
> Und dann wäre [mm]\IQ(\wurzel{5})=\{\bruch{a \wurzel{5}}{b \wurzel{5}}|a,b \in \IQ \}[/mm]
> = [mm]\{\bruch{a}{b}|a,b \in \IQ \}[/mm]
> Damit wäre
> [mm]\IQ(\wurzel{5})=\IQ[/mm] aber ich weiß, dass das nicht sein
> kann, weil [mm]\wurzel{5}[/mm] nicht in [mm]\IQ[/mm] ist!!
Du hast nicht beruecksichtigt, dass laut Definition aucf [mm] $\IQ$ [/mm] im Erzeugnis enthalten sein muss.
> Außerdem hätte ich dann nur 1 Basiselement!
>
> Und ähnlich würde das bei [mm]\IQ(\wurzel{11},\wurzel{17})[/mm]
> laufen,
> das wäre dann
> [mm]=\{a_{1}\wurzel{11}\wurzel{17}+a_{2}\wurzel{11}^{2}\wurzel{17}^{2}|a_{1},a_{2} \in \IQ \}[/mm]
>
Naja: Sei $K:= [mm] \IQ[\sqrt{11}, \sqrt{17}]$. [/mm] Dann enthaelt $K$ alle moeglichen Produkte und Summen von rationalen Zahlen und den beiden Wurzeln, also z.B. auch [mm] $5+2\srt{11}- \sqrt{17}$. [/mm] Aber auch [mm] $\sqrt{11}\sqrt{17}$. [/mm] Das gilt natuerlich auch fuer hoehere Potenzen, aber die liefern wieder rationale Zahlen und Wurzeln: [mm] $\sqrt{11}^{2}= [/mm] 11$, [mm] \sqrt{11}^{3}= 11\sqrt{11}$ [/mm] etc.
Damit kann man sagen, dass $K$ alle Zahlen der Gestalt [mm] $a+b\sqrt{11}+c\sqrt{17}+d\sqrt{11}\sqrt{17}$ [/mm] enthaelt, wobei [mm] $a,b,c,d\in \IQ$ [/mm] ist. Aus der Minimalitaet folgt uebrigens, dass $K$ auch keine anderen Zahlen enthaelt.
Versuche Du nun nocheinmal [mm] $\IQ[\sqrt{5}]$ [/mm] zu beschreiben.
> Also: große Verwirrung!
> Wo habe ich den Denkfehler??
> Kann mir da bitte jemand helfen?
> Grüßle, Lily
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> Naja: Sei $K:= [mm]\IQ[\sqrt{11}, \sqrt{17}]$.[/mm] Dann enthaelt
> $K$ alle moeglichen Produkte und Summen von rationalen
> Zahlen und den beiden Wurzeln, also z.B. auch [mm]$5+2\srt{11}- \sqrt{17}$.[/mm]
> Aber auch [mm]$\sqrt{11}\sqrt{17}$.[/mm] Das gilt natuerlich auch
> fuer hoehere Potenzen, aber die liefern wieder rationale
> Zahlen und Wurzeln: [mm]$\sqrt{11}^{2}=[/mm] 11$, [mm]\sqrt{11}^{3}= 11\sqrt{11}$[/mm]
> etc.
>
> Damit kann man sagen, dass [mm]K[/mm] alle Zahlen der Gestalt
> [mm]a+b\sqrt{11}+c\sqrt{17}+d\sqrt{11}\sqrt{17}[/mm] enthaelt, wobei
> [mm]a,b,c,d\in \IQ[/mm] ist. Aus der Minimalitaet folgt uebrigens,
> dass [mm]K[/mm] auch keine anderen Zahlen enthaelt.
>
> Versuche Du nun nocheinmal [mm]\IQ[\sqrt{5}][/mm] zu beschreiben.
Also enthält [mm] \IQ(\wurzel{5}) [/mm] alle Zahlen der Gestalt a+b [mm] \wurzel{5} [/mm] mit a,b [mm] \in \IQ
[/mm]
oder?
So fand ich das am Anfang auch logisch, aber ich bekomme das nicht aus der Definition raus! :-/
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Hallo,
ich kann nicht zitieren, aber so stimmt es!
[mm] $\|Q [\sqrt 5]=\{a+b\sqrt 5:a, b\in \|Q\} [/mm] $
Gruß,
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:27 Mi 18.12.2013 | | Autor: | hippias |
Noch eine kleine Anmerkung: Streng genommen ist [mm] $\IQ[\sqrt{5}]= \IQ+\IQ\sqrt{5}$ [/mm] der kleinste Ring, der [mm] $\IQ$ [/mm] und [mm] $\sqrt{5}$ [/mm] enthaelt, waehrend [mm] $\IQ(\sqrt{5})$ [/mm] der entsprechende kleinste Koerper ist. Die beiden Strukturen sind aber in diesem Falle gleich.
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