Körper und kommutativer Ring < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:55 Di 04.03.2014 | | Autor: | ne1 |
| Aufgabe | | Ist $K$ ein Körper, so ist die Menge [mm]K[t][/mm] der Polynome über $K$ zusammen mit natürlichen Addition und Multiplikation ein kommutativer Ring. |
Ich muss also 4 Sachen beweisen:
- Assoziativität
- neutrales Element (für alle Elemente)
- inverses
- Kommutativität
Das erste und letzte sind relativ einfach für mich - ist nur Schreibarbeit. Mit den mittleren beiden habe ich ein Problem.
neutrales Element:
Ich nehme mir das neutrale Element des Körpers $p [mm] \in [/mm] K$ und definiere $g(t) = p$. Dann nehme ich ein beliebiges [mm]f(t) \in K[t][/mm]. Dann hat man [mm]f(t) \cdot g(t) = (a_0 + a_1 t + ... + a_n t^n) \cdot p \in K[t][/mm]. An dieser Stelle kann ich die Eigenschaften des Körpers benutzen und bekomme [mm] $a_0 \cdot [/mm] p + ... + [mm] a_n t^n \cdot [/mm] p = [mm] a_0 [/mm] +... + [mm] a_n t^n$. [/mm] Die zweite Eigenschaft wurde somit bewiesen.
inverses:
Jetzt nehme ich wider ein beliebiges [mm]f(t) = a_0 + ... + a_n t^n \in K[t][/mm]. Und muss ein $h(t)$ finden, so dass $f [mm] \cdot [/mm] h = p$. Wie mache ich das?
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Hallo,
> Ist [mm]K[/mm] ein Körper, so ist die Menge [mm]K[t][/mm] der Polynome über [mm]K[/mm] zusammen mit natürlichen Addition und Multiplikation ein kommutativer Ring.
>
>
> Ich muss also 4 Sachen beweisen:
> - Assoziativität
> - neutrales Element (für alle Elemente)
> - inverses
> - Kommutativität
Nein. Du musst deutlich mehr beweisen.Du brauchst unter anderem:
Assozitivität und Kommutativität von Addition und Multiplikation, Distributivität, Existenz von neutralem Element und inversen der Addition.
Bitte nochmal einen genauen Blick in Skript/Buch/whatever werfen.
> Das erste und letzte sind relativ einfach für mich - ist nur Schreibarbeit. Mit den mittleren beiden habe ich ein Problem.
>
> neutrales Element:
> Ich nehme mir das neutrale Element des Körpers [mm]p \in K[/mm]
Es gibt kein neutrales Element des Körpers. Es gibt ein neutrales Element der Addition in K, 0 genannt, und ein neutrales Element der Multiplikation, 1 genannt.
> und definiere [mm]g(t) = p[/mm]. Dann nehme ich ein beliebiges [mm]f(t) >\in K[t][/mm]. Dann hat man [mm]f(t) \cdot g(t) = (a_0 + a_1 t + ... + a_n t^n) \cdot p \in K[t][/mm]. An dieser Stelle kann ich die Eigenschaften des Körpers benutzen und bekomme [mm]a_0 \cdot p + ... + a_n t^n \cdot p = a_0 +... + a_n t^n[/mm]. Die zweite Eigenschaft wurde somit bewiesen.
>
> inverses:
> Jetzt nehme ich wider ein beliebiges [mm]f(t) = a_0 + ... + a_n t^n \in K[t][/mm]. Und muss ein [mm]h(t)[/mm] finden, so dass [mm]f \cdot h = p[/mm]. Wie mache ich das?
Nach multiplikativen Inversen kannst du bei Polynomringen lang suchen, finden wirst du nicht viele.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:59 Mi 05.03.2014 | | Autor: | ne1 |
Ich bin mit Deiner Antwort nicht zufrieden. Was ich zeigen muss, ist, dass [mm]K[t][/mm] ein kommutativer Ring ist. D.h. ich nehme mir 2-3 Elemente aus dieser Menge und gucke ob meine Axiome erfüllt sind mithilfe einer Verknüpfung.
Ich möchte die Kommutativität zeigen. Dann nehme ich mir wie gesagt [mm]a_0 + ... + a_n t^n \in K[t][/mm] und [mm]b_0 + ... + b_n t^n \in K[t][/mm]. Beide sind Elemente von $K$ und ich nehme mir als Verknüpfung die +-Verknüpfung des Körpers. Dann habe ich [mm] $a_0 [/mm] + ... + [mm] a_n t^n [/mm] + [mm] b_0 [/mm] + [mm] ...+b_n t^n [/mm] = [mm] b_0 [/mm] + ... [mm] b_n t^n [/mm] +... [mm] a_n t^n$ [/mm] (Das umtauschen ist möglich weil es sich um Elemente eines Körpers handelt) uns somit habe ich die Kommutativtät bewiesen.
Ich verstehe nicht ganz was an meinem Vorgehen erst mal falsch ist.
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> Ich bin mit Deiner Antwort nicht zufrieden.
Hallo,
das ist ja schade.
Ich fand die Antwort ganz gut, und der Tip, nochmal ins Skript etc. zu schauen, ist brandheiß.
> Was ich zeigen
> muss, ist, dass [mm]K[t][/mm] ein kommutativer Ring ist.
Das stimmt. So steht's in der Aufgabe.
Deine Aufgabe wäre nun nachzuschlagen, was genau ein kommutativer Ring ist,
wichtige Dinge hat MaslanyFanClub genannt.
> D.h. ich nehme mir 2-3 Elemente aus dieser Menge und gucke ob meine Axiome erfüllt sind mithilfe einer Verknüpfung.
Mag sein, daß Du es richtig meinst.
>
> Ich möchte die Kommutativität zeigen. Dann nehme ich mir wie gesagt [mm]a_0 + ... + a_n t^n \in K[t][/mm] und [mm]b_0 + ... + b_n t^n \in K[t][/mm].
Ja.
> Beide sind Elemente von [mm]K[/mm]
Nein.
> und ich nehme mir als Verknüpfung die +-Verknüpfung des Körpers.
???
> Dann habe ich [mm]a_0 + ... + a_n t^n + b_0 + ...+b_n t^n = b_0 + ... b_n t^n +... a_n t^n[/mm] (Das umtauschen ist möglich weil es sich um Elemente eines Körpers handelt) uns somit habe ich die Kommutativtät bewiesen.
Nein.
Es werden hier Polynome addiert, nicht Elemente des Körpers, und Du wirst nicht umhinkommen, Dih anhand Deiner Unterlagen oder sonstwie zu informieren, wie die Addiion von Polynomen definiert ist.
>
> Ich verstehe nicht ganz was an meinem Vorgehen erst mal falsch ist.
Das, was MaslanyFanClub Dir gesagt hat, und das, was ich Dir hier sage.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 Mi 05.03.2014 | | Autor: | ne1 |
Ich habe den kommutativen Ring mit der abelschen Gruppe verwechselt.
Ich muss also zeigen:
- [mm]K[t][/mm] zusammen mit der Addition:
-- ist Assoziativ
-- hat ein neutrales Element
-- ist kommutativ
- [mm]K[t][/mm] zusammen mit der Multiplikation ist assoziativ
- es gelten Distributivgesetze
- der Ring ist kommutativ
>> Ich möchte die Kommutativität zeigen. Dann nehme ich mir wie gesagt $ [mm] a_0 [/mm] + ... + [mm] a_n t^n \in [/mm] K[t] $ und $ [mm] b_0 [/mm] + ... + [mm] b_n t^n \in [/mm] K[t] $.
>Ja.
>> Beide sind Elemente von $ K $
>Nein.
Warum nicht? In meinen Unterlagen habe ich stehen, dass [mm] $a_0, [/mm] ... [mm] ,a_n \in [/mm] K$. Und $t$ ist auch ein Element von $K$, d.h. mein Polynom ist nichts anderes als verschiedene Elemente des Körpers mit beiden Verknüpfungen verknüpft und das ist doch wiederum ein Element des Körpers.
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> Ich habe den kommutativen Ring mit der abelschen Gruppe
> verwechselt.
>
> Ich muss also zeigen:
> - [mm]K[t][/mm] zusammen mit der Addition:
> -- ist Assoziativ
> -- hat ein neutrales Element
> -- ist kommutativ
> - [mm]K[t][/mm] zusammen mit der Multiplikation ist assoziativ
> - es gelten Distributivgesetze
> - der Ring ist kommutativ
> >> Ich möchte die Kommutativität zeigen. Dann nehme ich mir wie gesagt $ [mm]a_0[/mm] + ... + [mm]a_n t^n \in[/mm] K[t] [mm]und[/mm] [mm]b_0[/mm] + ... + [mm]b_n t^n \in[/mm] K[t] $.
>
> >Ja.
>
> >> Beide sind Elemente von [mm]K[/mm]
>
> >Nein.
>
> Warum nicht? In meinen Unterlagen habe ich stehen, dass [mm]a_0, ... ,a_n \in K[/mm]. Und [mm]t[/mm] ist auch ein Element von [mm]K[/mm], d.h. mein Polynom ist nichts anderes als verschiedene Elemente des Körpers mit beiden Verknüpfungen verknüpft und das ist doch wiederum ein Element des Körpers.
t ist kein Element von K.
Was es genau ist hängt davon ab, was man als Polynomring auffassen will, z.B. das:
https://de.wikipedia.org/wiki/Polynomring
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:59 Mi 05.03.2014 | | Autor: | ne1 |
Leider habe ich wieder eine Frage, da ich festgestellt habe, dass ich nicht wirklich weiss, was ein Polynom ist.
"Sei $K$ ein Körper und $t$ eine Unbestimmte. Eine Unbestimmte soll dabei einfach ein Buchstabe sein." Das ist für mich schon mal bisschen verwirrend. Bei den ganzen Gruppen, Ringen, Körpern hat man mit Mengen gearbeitet und es war irgendwie klar das z.B. zwei verknüpfte Elemente einer Menge ein Element einer bestimmten Menge sind. Hier ist es für mich nicht ganz klar was $t$ ist und was dieses $t$ mit meinem Körper zu tun haben soll.
"Ein Polynom mit Koeffizienten in K (oder Polynom über K) ist dann ein formaler Ausdruck der Gestalt $f(t) = [mm] a_0 [/mm] + ... [mm] a_n t^n$, [/mm] wobei [mm] $a_0,...,a_n \in [/mm] K$." Hier habe ich wiederum ein ähnliches Problem. Was soll z.B. [mm] $a_n t^n$ [/mm] sein? Oder das Pluszeichen. Für mich sind das irgendwelche Verknüpfungen, aber bis jetzt hatte ich Verknüpfungen nur in Verbindung mit Mengen. Ich kann mir nicht wirklich vorstellen was ein Polynom ist. Natürlich kenne ich Polynome aus der Schule, aber hier möchte ich wirklich nur damit arbeiten, was definiert wurde.
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Was du hier in Auszügen zitierst (woher auch immer es her ist), ist eine informelle Art Polynomringe zu definieren. Ich finde diese auch nicht sonderlich erhellend. In der von mir verlinkten Definition ist z.B. t klar definiert.
Ein paar Anmerkungen dennoch:
> Hier ist es für mich nicht ganz klar was $ t $ ist und was dieses $ t $ mit
> meinem Körper zu tun haben soll.
t hat gar nichts, aber auch wirklich gar nichts, mit dem Körper zu tun.
+ und * sind hier die Verknüpfungen des Körpers (K,+*).
Bei [mm] $a_nt^n$ [/mm] wird wieder die Multiplikation, wie üblich, weggelassen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:00 Do 06.03.2014 | | Autor: | ne1 |
Danke, die letzte Frage (zumindest für heute), was kann ich mir unter [mm] $a_x [/mm] t$ vorstellen? Ich kann keine Aussage darüber machen ob es ein Element von $K$ ist oder? Soll [mm]a_x t[/mm] einfach ein neues Element irgendeiner Menge sein, die ich wahrscheinlich nicht kenne?
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> Danke, die letzte Frage (zumindest für heute), was kann
> ich mir unter [mm]a_x t[/mm] vorstellen? Ich kann keine Aussage
> darüber machen ob es ein Element von [mm]K[/mm] ist oder? Soll [mm]a_x t[/mm]
> einfach ein neues Element irgendeiner Menge sein, die ich
> wahrscheinlich nicht kenne?
Hallo,
s. meine andere Antwort:
für [mm] a_n\in [/mm] K ist [mm] a_nX^n [/mm] ein Polynom in der Unbestimmten X über K,
ein Element der Menge K[X].
LG Angela
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> Leider habe ich wieder eine Frage, da ich festgestellt
> habe, dass ich nicht wirklich weiss, was ein Polynom ist.
>
Hallo,
das ist doch schonmal eine wertvolle Erkenntnis - und sie war vermutlich überraschend für Dich.
Ich sag' mal so: ein Polnom ist das, als was es in der Vorlesung definiert wurde...
Ich gehe davon aus, daß Ihr es in der Vorlesung so informell "definiert" habt, und ich arbeite jetzt damit.
> "Sei [mm]K[/mm] ein Körper und [mm]t[/mm] eine Unbestimmte. Eine Unbestimmte
> soll dabei einfach ein Buchstabe sein." Das ist für mich
> schon mal bisschen verwirrend. Bei den ganzen Gruppen,
> Ringen, Körpern hat man mit Mengen gearbeitet und es war
> irgendwie klar das z.B. zwei verknüpfte Elemente einer
> Menge ein Element einer bestimmten Menge sind. Hier ist es
> für mich nicht ganz klar was [mm]t[/mm] ist und was dieses [mm]t[/mm] mit
> meinem Körper zu tun haben soll.
Nichts.
Es ist einfach eine "formelle Variable".
Du mußt Dir keinerlei Gedanken darüber machen.
[mm] p:=2X^5+\wurzel{3}X^2+(-7)X+4711
[/mm]
ist ein Polynom über [mm] \IR.
[/mm]
Peng. Fertig.
Du mußt nicht über die Pluszeichen nachdenken,
auch gar nicht darüber, wie die reellen Zahlen mit den Potenzen von X verknüpft sind.
Schluck es einfach.
[mm] q:=-4X^2+9X [/mm] ist auch eins.
Ich will Dir sagen, woher die Verwirrung kommt:
Du kennst Polynomfunktionen, z.B.
[mm] f:\IR\to \IR
[/mm]
[mm] f(x):=2x^5+\wurzel{3}x^2+(-7)x+4711,
[/mm]
[mm] g:\IR\to \IR
[/mm]
[mm] g(x):=-4x^2+9x.
[/mm]
f und g ordnen jeder reellen Zahl eine reelle Zahl zu.
Die Addition von Funktionen ist definiert durch
(f+g)(x):=f(x)+g(x),
und für die Kommutativität der Addition reellwertigen Funktionen kannst Du in der Tat damit argumentieren, daß f(x) ud g(x) beide aus [mm] \IR [/mm] sind.
Auf Polynome trifft das nicht zu.
Polynome sind Polynome, und das X steht für nix...
Du müßtest jetzt unbedingt in Deinen Unterlagen nachschauen, wie Ihr die Addition von Polynomen definiert habt.
(Man macht kleine Klimmzüge, weil sie verschiedenen Grad haben können.)
Auf jeden Fall ist, wenn wir unser Beispiel nehmen,
p+q
[mm] =(2X^5+\wurzel{3}X^2+(-7)X+4711)+(-4X^2+9X)
[/mm]
[mm] =(2+0)X^5+(0+0)X^4+(0+0)X^3+( \wurzel{3} -4)X^2+(-7+9)X+(0+4711)
[/mm]
[mm] =2X^5+( \wurzel{3} -4)X^2+2X+4711.
[/mm]
Diese Addition ist kommutativ, weil die Koeffizienten vor den X-Potenzen einem Körper entstammen.
Schau Dir auch an, wie die Multiplikation von Polynomen definiert ist. (Du kennst sie vom Ausmultiplizieren von Klammern und praktizierst sie schon lange,)
Die Lehre für den Moment:
> "Ein Polynom mit Koeffizienten in K (oder Polynom über K)
> ist dann ein formaler Ausdruck der Gestalt [mm]p= a_0 +a_1X+ ... a_n X^n[/mm],
> wobei [mm]a_0,...,a_n \in K[/mm]" ,
und die Addition und Multiplikation von Polynomen sind so definiert, wie es in der VL getan wurde.
Einfach nicht weiter drüber nachdenken.
Nehmen und damit arbeiten.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:25 Do 06.03.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen!
Mir geht es so wie MaslanyFanclub: Auch ich bevorzuge die präzise Definition von Polynomen, wie sie unter ![[]](/images/popup.gif) https://de.wikipedia.org/wiki/Polynomring zu finden ist, gegenüber der informellen Art sie einzuführen.
(Bei wikipedia fehlt allerdings die Erklärung, dass jedes Körperelement $a$ mit dem Polynom [mm] $(a,0,0,0,\ldots)$ [/mm] identifiziert wird und diese Identifizierung verträglich mit Addition und Multiplikation ist.)
> Ich sag' mal so: ein Polnom ist das, als was es in der
> Vorlesung definiert wurde...
> > "Ein Polynom mit Koeffizienten in K (oder Polynom über K)
> > ist dann ein formaler Ausdruck der Gestalt [mm]p= a_0 +a_1X+ ... a_n X^n[/mm],
> > wobei [mm]a_0,...,a_n \in K[/mm]" ,
> [mm]p:=2X^5+\wurzel{3}X^2+(-7)X+4711[/mm]
> ist ein Polynom über [mm]\IR.[/mm]
Ein Nachteil bei der informellen Definition: Ohne "Zusatzdefinition" ist p erst einmal eben kein Polynom, da p nicht die genaue Gestalt aus der Definition hat.
Bei der präzisen Art Polynome zu definieren tritt dieses Problem hingegen nicht auf: p ist einfach die Summe von vier Polynomen, von denen die vorderen drei jeweils ein Produkt zweier Polynome sind. Z.B. [mm] $X^5$ [/mm] wiederum ist einfach wirklich die fünfte Potenz des Polynomes [mm] $X=(0,1,0,0,0,\ldots)$.
[/mm]
(Bei der informellen Art muss zwischen "+" als bedeutungsloses Zeichen innerhalb eines Polynoms und "+" als Verknüpfung von Polynomen unterschieden werden. Bei der präzisen Art steht "+" in beiden Fällen für die Addition von Polynomen.)
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 Do 06.03.2014 | | Autor: | ne1 |
Danke für Eure Hilfe.
Was ich noch nicht ganz bei Deiner Antwort verstehe ist
>Auf jeden Fall ist, wenn wir unser Beispiel nehmen,
>p+q
>$ [mm] =(2X^5+\wurzel{3}X^2+(-7)X+4711)+(-4X^2+9X) [/mm] $
>$ [mm] =(2+0)X^5+(0+0)X^4+(0+0)X^3+( \wurzel{3} -4)X^2+(-7+9)X+(0+4711) [/mm] $
>$ [mm] =2X^5+( \wurzel{3} -4)X^2+2X+4711. [/mm] $
>Diese Addition ist kommutativ, weil die Koeffizienten vor den X-Potenzen einem Körper entstammen.
Da wo der erste = steht, hast Du ganz einfach nur die Definition der Addition für Polynome angewendet? Bei dem zweiten = hast Du die Eigenschaften der Reellen Zahlen benutzt, ja? Warum lässt Du [mm] $0X^3$ [/mm] weg?
Ausserdem schreibst Du
>Du mußt nicht über die Pluszeichen nachdenken, auch gar nicht darüber, wie die reellen Zahlen mit den Potenzen von X verknüpft sind.
Und dann, nach der Anwendung der Addition der Polynome benutzt Du die Pluszeichen um die Elemente der Körper zu addieren. Es sind also doch Verknüpfungen des Körpers und nicht irgendwelche irrelevante Zeichen.
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> Danke für Eure Hilfe.
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> Was ich noch nicht ganz bei Deiner Antwort verstehe ist
> >Auf jeden Fall ist, wenn wir unser Beispiel nehmen,
>
> >p+q
> >[mm] =(2X^5+\wurzel{3}X^2+(-7)X+4711)+(-4X^2+9X)[/mm]
> >[mm] \red{=}(2+0)X^5+(0+0)X^4+(0+0)X^3+( \wurzel{3} -4)X^2+(-7+9)X+(0+4711)[/mm]
>
> >[mm] \green{=}2X^5+( \wurzel{3} -4)X^2+2X+4711.[/mm]
>
> >Diese Addition ist kommutativ, weil die Koeffizienten vor
> den X-Potenzen einem Körper entstammen.
>
Hallo,
> Da wo der erste = steht, hast Du ganz einfach nur die
> Definition der Addition für Polynome angewendet?
Beim roten.
> Bei dem
> zweiten = hast Du die Eigenschaften der Reellen Zahlen
> benutzt, ja?
Beim grünen.
> Warum lässt Du [mm]0X^3[/mm] weg?
>
> Ausserdem schreibst Du
> >Du mußt nicht über die Pluszeichen nachdenken, auch gar
> nicht darüber, wie die reellen Zahlen mit den Potenzen
> von X verknüpft sind.
>
> Und dann, nach der Anwendung der Addition der Polynome
> benutzt Du die Pluszeichen um die Elemente der Körper zu
> addieren. Es sind also doch Verknüpfungen des Körpers und
> nicht irgendwelche irrelevante Zeichen.
Tja... Das sind Schwächen der informellen, intuitiven "Definition" bzw. Herangehensweise.
All diese Probleme hast Du nicht, wenn Du Polynome manierlich mit den Folgen definierst. Dann ist alles wasserdicht.
Ich hab's ja schon gesagt: mit der informelle Vorgehensweise kommst Du prima zurecht, wenn Du nicht zu viel denkst und fragst.
Wenn Du fragst, dann muß man ein paar Sachen zusätzlich vereinbaren, z.B. die, daß man Terme wie [mm] 0X^3 [/mm] nach Belieben aus Bequemlichkeitsgründen weglassen kann.
Würde ich hier damit "argumentieren", daß [mm] 0X^3 [/mm] desselbe wie 0-mal [mm] X^3 [/mm] und damit natürlich =0 ist, könntest Du mich sofort in unangenehme Gespräche verwickeln...
Du hast völlig richtig erkannt, daß das Pluszeichen hier für verschiedene Additionen benutzt wird, was nicht ganz in Ordnung ist. Das macht man bei der Vektorrechnung ja auch meist.
LG Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:43 Do 06.03.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo ne1!
Um den "präzisen Standpunkt" einmal zusammenzufassen:
Ein Polynom über einem Körper $K$ ist eine Folge [mm] $(a_i)_{i\in\IN}=(a_0,a_1,a_2,\ldots)$ [/mm] von Elementen [mm] $a_i\in [/mm] K$, für die ein [mm] $n\in\IN$ [/mm] mit [mm] $a_i=0$ [/mm] für alle $i>n$ existiert.
Elemente [mm] $a\in [/mm] K$ fassen wir als Polynom [mm] $(a,0,0,0,\ldots)$ [/mm] auf.
Wir definieren die Variable $X$ als das Polynom [mm] $(0,1,0,0,0,\ldots)$.
[/mm]
Für Polynome [mm] $(a_i)_{i\in\IN}$ [/mm] und [mm] $(b_i)_{i\in\IN}$ [/mm] über $K$ erhalten wir neue Polynome durch
[mm] $(a_i)_{i\in\IN}+(b_i)_{i\in\IN}:=(a_i+b_i)_{i\in\IN}$
[/mm]
und
[mm] $(a_i)_{i\in\IN}*(b_i)_{i\in\IN}:=(\sum_{j=0}^ia_jb_{j-i})_{i\in\IN}$.
[/mm]
Mittels dieser Verknüpfungen bildet die Menge der Polynome über dem Körper $K$ einen kommutativen Ring.
Die Identifizierung von Körperelementen [mm] $a\in [/mm] K$ mit den Polynomen [mm] $(a,0,0,0,\ldots)$ [/mm] ist verträglich mit der Addition von $K$ und von Polynomen. Analoges gilt für die Multiplikation.
Ma kann sich überlegen, dass für jedes Polynome [mm] $(a_i)_{i\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $a_i=0$ [/mm] für alle $i>n$ wirklich gilt:
[mm] $(a_i)_{i\in\IN}=a_0+a_1X+a_2X^2+\ldots+a_nX^n$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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