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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:55 So 05.02.2006 | | Autor: | ElemEnt |
| Aufgabe | | Sei f: R [mm] \to [/mm] S ein Homomorphismus von Ringen. Ist R ein Körper, so ist f injektiv. |
Hallöchen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe schon versucht die Lösung zu finden, auch wenn ich mich lange durch die Theorie der Ringe, soweit wir sie behandelt haben, kämpfen musste!!
Ich glaube ich muss hier zeigen, dass f injektiv ist unter Verwendung der Körperaxiome bzw. -eigenschaften!
Hier erstmal mein Lösungsvorschlag.
zz. f(a) = f(b) [mm] \Rightarrow [/mm] a = b
Sei also
f(a) = f(b) !K ist Körper, es gilt das Lösbarkeitsaxiom
[mm] \gdw f(a_1 [/mm] + [mm] a_2) [/mm] = [mm] f(b_1 [/mm] + [mm] b_2) [/mm] !S ist Ring
[mm] \gdw f(a_1 [/mm] + [mm] a_2) [/mm] - [mm] f(b_1 [/mm] + [mm] b_2) [/mm] = [mm] f(0_R) [/mm] ! f ist Ringhomom.
[mm] \gdw f(a_1 [/mm] + [mm] a_2) [/mm] + [mm] (-f(b_1 [/mm] + [mm] b_2)) [/mm] = [mm] f(0_R) [/mm] ! f ist Ringhomom.
[mm] \gdw f(a_1 [/mm] + [mm] a_2) [/mm] + [mm] (f(-(b_1 [/mm] + [mm] b_2))) [/mm] = [mm] f(0_R)
[/mm]
[mm] \gdw f(a_1 [/mm] + [mm] a_2) [/mm] + f( [mm] -b_1 [/mm] - [mm] b_2) [/mm] = [mm] f(0_R) [/mm] !f ist Homom.
[mm] \gdw f(a_1 [/mm] + [mm] a_2 [/mm] + [mm] (-b_1 -b_2)) [/mm] = [mm] f(0_R) [/mm] !K ist Körper
[mm] \gdw f(a_1 [/mm] + [mm] a_2 [/mm] - [mm] (b_1 [/mm] + [mm] b_2)) [/mm] = [mm] f(0_R)
[/mm]
[mm] \Rightarrow a_1 [/mm] + [mm] a_2 [/mm] - ( [mm] b_1 [/mm] + [mm] b_2) [/mm] = [mm] 0_R
[/mm]
[mm] \Rightarrow a_1 [/mm] + [mm] a_2 [/mm] = [mm] b_1 [/mm] + [mm] b_2
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] a = b qed.
Ich hoffe das ist richtig, bin mir da aber gar nicht sicher, weil ich nicht weiß, ob ich das mit der Voraussetzung "R ist ein Körper" richtig angewendet habe!
Hier brauche ich Hilfe!!
Wenn sich das jemand anschauen und beurteilen könnte, wäre ich ihm richtig dankbar!!
ElemEnt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:07 Mo 06.02.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
dein Fehler fängt schon in der dritten Zeile an, dass du da plötzlich f(0) stehen hast - aber eigentlich müsste [mm] 0_S [/mm] da stehen.
du machst dann zwar noch munter auf der linken Seite weiter, aber dann schließt du plötzlich, dass [mm] 0_R [/mm] das einzige Urbild von [mm] 0_S [/mm] ist - aber genau dies ist zu zeigen !!
Also nochmal : du musst zeigen, dass der Kern trivial ist.
(ist dir klar warum? hattet ihr einen enstpr. Satz schon?)
und das geht ganz einfach per widerspruch:
angenommen es gibt ein Element r aus R, das auf [mm] 0_S [/mm] abgebildet wird.
weil R nun ein Körper ist, gibt es ein Inverses, also [mm] $r^{-1}$
[/mm]
nun ist dann aber:
[mm] $0=0*f(r^{-1})=f(r)*f(r^{-1})=f(r*r^{-1})=f(1)=1$
[/mm]
was ein Widerspruch darstellt...
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 Mo 06.02.2006 | | Autor: | ElemEnt |
Hallo!
du hattest gefragt, ob mir klar ist, warum zu zeigen ist dass der Kern trivial sein muss. Leuchtet mir begrenzt ein. Klar dass nicht zwei Urbilder [mm] 0_S [/mm] erzeugen dürfen, sonst wär das nie injektiv.
Allerdings habe ich in meinem Skript nur die von mir vewendete Bedingung für Injektivität, also nichts mit Kern oder so.
Das mit der dritten Zeile habe ich aus einem Lemma.
Da steht: Ist f Homomorphismus von R in S (beides Ringe), dann gilt: f bildet das neutrale Element des Ringes auf das entsprechende Element des Wertebereiches ab.
Ich dachte dmit kann ich sofort annehmen [mm] 0_S [/mm] = [mm] f(0_R)
[/mm]
Das erklärt auch meine dritte Zeile, da habe ich das sofort verwendet.
Allesrdigs ist mir in deiner Ausfürung nicht klar, warum man nun schreiben darf: ... = f(1) = 1
Nimmst du da nicht auch an, dass [mm] 1_R [/mm] einziges Urbild von [mm] 1_S [/mm] ist?? *kreusel die stirn*
Sonst ist mir die Erzeugung des Widerspruches klar.
ElemEnt
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Hallo!
Was DaMenge wohl meinte ist:
In der dritten Zeile darfst du durchaus [mm] $0_S=f(0_R)$ [/mm] verwenden. Aber später (dritte Zeile von unten) schließt du, dass [mm] $f(a-b)=0_S=f(0_R)$ [/mm] impliziert, dass [mm] $a-b=0_R$.
[/mm]
Falls aber ein weiteres Element [mm] $x\in [/mm] R$ exisitiert mit [mm] $f(x)=0_S$, [/mm] dann ist dieser Schluß falsch.
> Nimmst du da nicht auch an, dass [mm]1_R[/mm] einziges Urbild von
> [mm]1_S[/mm] ist?? *kreusel die stirn*
In der Tat benutzt er hier nur, dass [mm] $f(1_R)=1_S$.
[/mm]
Eine Frage habe ich noch an dich: Warum benutzt du in deinem Lösungsansatz die Zerlegungen [mm] $a=a_1+a_2$ [/mm] und [mm] $b=b_1+b_2$?
[/mm]
Gruß, banachella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:27 Mo 06.02.2006 | | Autor: | ElemEnt |
Hallo banachella!
Stimmt, man kann das mit der Zerlegung weglassen, ich wäre aber ohne die nicht auf die "Lösung" gekommen (auch wenn sie falsch ist), musste mir halt klarmachen, wie die Operationen sich verhalten. Wenn man das weglässt steht rechts natürlich auch [mm] 0_S!
[/mm]
Also wenn ich benutzen darf, dass neutrale Elemente auf neutrale Elemente abgebildet werden, dann weiß ich auch was DaMenge mir da sagen wollte; er benutzt je in Prinzip das Lemma, welches ich selber mit [mm] 0_S [/mm] oben auch nuzte. Die Tatsache stimmt ja. Vielleicht haben DaMenge und ich hier aneinander vorbei geredet.
Das Argument von dir mit dem [mm] f(x)=0_S [/mm] leuchtet mir ein , dann mache ich das so, wie DaMenge vorgeschlagen hat.
DANKE euch
ElemEnt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:39 Mo 06.02.2006 | | Autor: | DerHein |
Entschuldige, dass ich mich hier auchnoch einmische, aber
es geht viel viel einfacher.
Was ein Ideal eines Ringes ist weiss du hoffentlich. Falls nicht
lies es irgendwo nach .. (z.B. Wikipedia)
Lemma: Kerne von Ringhomomorphismen sind Ideale.
Lemma: Ein Körper K hat genau 2 Ideale: 0 und K.
Die Beweise sind wirklich sehr einfach...
Sei nun f: K ---> R ein Ringhomomorphismus, R [mm] $\neq${0} [/mm] (häufig wird das auch schon in der Definition von Ring ausgeschlossen).
Nach den Lemmata kommen als Kern also nur K selbst und 0 in Frage.
Da nach Def von Ringhom. [mm] f(1)=1($\neq${0}) [/mm] ist 1 schonmal nicht im Kern.
Also kann der Kern nicht ganz K sein. D.h Der Kern ist 0 also ist f inj.
mfg Hein
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