Körper und Einheit < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:25 So 05.10.2008 | | Autor: | johnny11 |
| Aufgabe | | Sei K ein Körper. Bestimme U(K[x]). |
U(K[x]) = {f [mm] \in [/mm] K[x] | [mm] a_0 \not= [/mm] 0}
Die eine Richtung habe ich bereits gezeigt:
f Einheit [mm] \Rightarrow \exists [/mm] g : f * g = 1
= ... + [mm] a_0b_0 \Rightarrow a_0b_0 [/mm] = 1.
[mm] \Rightarrow a_0 [/mm] = 0.
Doch nun die andere Richtung. Ich denke, da müsste ich explizit eine Inverse herausfinden. Doch wie gehe ich da am besten vor?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:50 So 05.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> Sei K ein Körper. Bestimme U(K[x]).
> $U(K[x]) = [mm] \{f\inK[x] | a_0 \not= 0\}$
[/mm]
(Eins vorweg, ich hab keine Ahnung von dem Thema, habe mir nur die Definition der Einheit auf Wiki angeschaut, kann also sein dass ich vollkommen daneben liege...)
Ich nehme an letzteres ist deine Vermutung, aber bist du sicher dass das überhaupt stimmt?
Z.b. hat man in [mm] $\IR[x]$ [/mm] das Polynom $p(x)=x+1$, da kann ich mich verbiegen wie ich will, es gibt kein Polynom $q$ mit $pq=1$, da [mm] $\operatorname{deg}pq\ge [/mm] 1$ ist. Wenn ich das richtig verstehe müsste ja dann [mm] $U(\IR[x])=\{p\in\IR[x]:\operatorname{deg}p=0\}$ [/mm] sein. Vermutlich gilt das sogar für beliebige Körper, da in nullteilerfreien Ringen $R$ doch stets gilt [mm] $p,q\in R[x]\Rightarrow \operatorname{deg}pq=\operatorname{deg}p+\operatorname{deg}q$.
[/mm]
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:02 So 05.10.2008 | | Autor: | johnny11 |
Ja das finde ich auch merkwürdig, aber diese Hinweis hat mir eine Assisstentin gegeben. Deshalb habe ich eigentlich angenommen dass er stimmt...!
|
|
|
| |
|
Hallo,
ich könnte mir vorstellen, dass du die Behauptung vielleicht für den Ring der formalen Potenzreihen $K x$ zeigen sollst. Dort gilt nämlich [mm] $K[[x]]^\times=\{f\in K[[x]] : a_0\neq0\}$.
[/mm]
Ansonsten ist für den "normalen" Polynomring [mm] $K[x]^\times=K^\times=K\smallsetminus\{0\}$.
[/mm]
Ach ja, [mm] $R^\times$ [/mm] ist nur eine andere Schreibweise für die Einheitengruppe $U(R)$.
Edit: Wieso folgt aus [mm] $a_0b_0=1$ [/mm] denn [mm] $a_0=0$? [/mm] Es folgt eigentlich, dass [mm] $a_0$ [/mm] eine Einheit ist, also [mm] $a_0\in K^\times=K\smallsetminus\{0\}$, [/mm] damit [mm] $a_0\neq0$.[/mm]
|
|
|
|
