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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:39 Sa 15.11.2008 | | Autor: | Qirwik |
| Aufgabe | | Konstruieren sie einen Körper mit genau 4 Elementen |
Hallo.
Ich habe mich folgendermaßen an der Aufgabe versucht;
Körper mit 4 Elementen 0, 1, a, b.
+ 0 1 a b
0 0 1 a b
1 1 0 a b
a a a 0 1
b b b 1 0
Kommutativität der Addition:
a+b=b+a (Additionstabelle)
Existenz der Null:
0+a=a+0=a (Additionstabelle)
Existenz des Inversen Elements:
z=a [mm] z_{1}=(-a)
[/mm]
[mm] z+z_{1}=a+(-a)=0+0= [/mm] 0
Assoziativität der Addition:
(a+b)+c=a+(b+c) ?
x 0 1 a b
0 0 0 0 0
1 0 1 a b
a 0 a a 1
b 0 b 1 b
Kommutativität der Mulitplikation:
a x b= b x a=1 (Multiplikationstabelle)
Existenz der Eins:
1 x a = a x 1 = a (Multiplikationstabelle)
Existenz des Inversen Elements:
z=a [mm] \bruch{\overline{z}}{|z|^{2}} [/mm] = ... = 1
Assoziativität der Multiplikation:
(a x b) x c=a x (b x c) ?
Meine Frage wäre ob ich bisher richtig liege und ob es sich dabei überhaupt um den richtigen Ansatz für die Frage handelt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Deine Verknüpfungstafeln sind sicher nicht solche, aus denen ein Körper mit 4 Elementen entstehen kann:
Wenn K ein Körper ist, müssen ja (K, +) und (K \ [mm] \{0\} ,\*) [/mm] jeweils abelsche Gruppen sein.
Deine Verknüpfungstafeln sind aber eine Gruppentafeln. In Gruppentafeln kommt jedes Element in jeder Zeile und Spalte nur einmal vor.
Wie Du jetzt vorgehst, kommt drauf an, was Ihr schon gelernt habt.
Wißt Ihr, daß es im Wesentlichen nur zwei verschiedene Gruppen mit 4 Elementen gibt und nur eine mit drei Elementen.
Wenn das bekannt ist, ist ja nur zu untersuchen, welche der beiden möglichen Gruppen bzgl der Addition sich mit dem Distibutivgesetz verträgt.
Gruß v. Angela
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